聂昌雄,范植兴

(湖北大学数学与统计学学院, 湖北 武汉 430062)

一类具有三个不同共形主曲率的类空超曲面

聂昌雄,范植兴

(湖北大学数学与统计学学院, 湖北 武汉 430062)

若类空等参超曲面有平行的共形的第二基本形式, 则有2个或3个共形主曲率[11].笔者论证3个不同主曲率在重数一致的情形下, 具有平行的共形的第二基本形式, 并在共形等价下对这类超曲面作分类.

Lorentz空间形式；共形等参超曲面；共形主曲率；共形不变量

0 引言

设α=(x1,…,xn),β=(y1,…,yn)∈Rn. 在Rn上定义Lorentz度量g=<,>s, 则

笔者给出了3个共形主曲率重数一致的情形, 但对其重数不一致还有待讨论. 主要结果如下:

(u1,u2,t,u3)|→(tu1,tu2,u3).

1 共形几何

其中ξ⊥span{Y,N,Y1,…,Yn}且<ξ,ξ>=-1. 我们假定1≤i,j,k,l,t≤n. 结构方程为

Aijk-Aikj=BijCk-BikCj

Bijk-Bikj=δijCk-δikCj

(1)

(2)

Rijkl=(δikAjl-δilAjk)+(Aikδjl-Ailδjk)-(BikBjl-BilBjk)

(3)

此外,还满足以下基本关系

(4)

(5)

由上式可知{A,φ}可由{B,g}确定, 从而有

1.2 Lorentz空间形式中的共形不变量 考察以下3种嵌入：

由于σ0,σ+1,σ-1是共形映射, 因此Lorentz空间形式中的类空超曲面也是共形空间中的类空超曲面.

由子流形理论可知

△u=n(Hen+1-εu),ρ=n(n-1)ε+S-n2H2

(6)

(7)

下面给出上述共形不变量与平均曲率的关系:

(8)

(9)

例子 对b>a>0,b2-a2=1. 扭积嵌入

I==t2du1⊗du1+t2du2⊗du2+dt⊗dt+du3⊗du3.

选取幺正标架{e1,…,en}, 在这组基下有

Ci=0, (Aij)=(λ1Im)⊕(λ2Im)⊕(λ3Im), (Bij)=(η1Im)⊕(η2Im)⊕(η3Im),

2 一类共形等参超曲面的分类

B:=(Bij)=(b1Im)⊕(b2Im)⊕(b3Im)

(10)

方便起见, 我们给定下指标范围

1≤a,b≤m;m+1≤p,q≤2m; 2m+1≤α,β≤n; 1≤i,j,k,l≤n.

由(2)式可知AB=BA, 结合(10)式可知A必定为对角阵, 不妨设

A:=(Aij)=diag(aaIm)⊕diag(apIm)⊕diag(aαIm).

下面考虑B的共变微分:

即Babi=0. 同理可证Bpqi=Bαβi=0, 而由(1)可知Babc=Bbac=Bbca, 即Bijk中i,j,k互换位置不改变大小, 从而集合{Bijk|i≤j≤k}中非零元必定形如Bapα. 故

(11)

同理可证

(12)

(13)

其中内积运算是欧氏空间标准内积.

(14)

(11)式两边同时微分得

(15)

3) 当p=q且α=β时, 由(3)式得Rpαqβ=ap+aα-b2b3, 因此

(16)

(17)

(18)

(19)

注 每行(或列)所有元素都相互正交；经过换行换列变换结论依然成立.

引理2.2 如上定义,……