☉江苏省南菁高级中学 张丽娟

化归转化思想解题例说
——以一道线性规划综合问题为引例

☉江苏省南菁高级中学 张丽娟

在数学解题中，如果对原问题直接求解不易入手，此时不妨将原问题变换为我们熟悉的、易于解决的问题来处理.这就是化归转化思想，即将一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思想.下面就化归转化思想的应用举例分析.

例1已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，给出下列说法：

①3a-4b+10>0；

其中，所有正确说法的序号是_________.

本题以线性规划为背景，设置多个结论，综合性较强，解题中要善于根据题目条件将问题进行等价转化求解.此类问题能有效考查考生分析问题与解决问题的能力.

一、善于把握问题的本质

对于①，利用不等式所表示的平面区域的概念，将点B（1，0）的坐标代入直线3x-4y+10=0所得值大于零，故3a-4b+10<0.①错误.

评析：判断一个点是否在某个不等式所表示的平面区域内，可直接将点坐标代入不等式方程中，若满足不等式，则该点在所给不等式的区域内，否则不在该区域内.充分把握不等式所表示的平面区域的本质，即可顺利求解.

变式1（2014年新课标全国卷Ⅰ）不等式组的解集记为D，有下面四个命题：

p1：∀（x，y）∈D，x＋2y≥-2；

p2：∃（x，y）∈D，x＋2y≥2；

p3：∀（x，y）∈D，x＋2y≤3；

p4：∃（x，y）∈D，x＋2y≤-1.

其中的真命题是（ ）.

A.p2，p3B.p1，p2

C.p1，p4D.p1，p3

解析：不等式组所表示的平面区域如图1所示，在图中画出命题1中不等式x＋2y≥-2所表示的平面区域，易知此区域包含区域D，所以命题p1正确.同理命题p2正确，p3、p4错误.答案为B.

图1

二、拓展由此及彼的洞察力

画出可行域（如图2所示），因为3a-4b+10=0所在的直线为虚线，所以z=a+b既不存在最大值，也不存在最小值.故②错.