朱旭生，赵康鑫，傅春燕

(华东交通大学 理学院，江西 南昌 330013)



n维欧拉方程组初边值问题经典解的爆破

朱旭生，赵康鑫，傅春燕

(华东交通大学 理学院，江西 南昌 330013)

讨论了n维空间中带线性阻尼项的等熵欧拉方程组初边值问题经典解的爆破。 一方面,利用对称双曲型方程组解的存在性理论,得到了n维空间中可压缩欧拉方程组的初边值问题的经典解的局部存在性以及解的有限传播性质;另一方面,通过构造几种不同类型的泛函,证明了当初始数据较大时初边值问题的经典解必定在有限时间内爆破的结论。

线性阻尼；欧拉方程组；初边值问题；泛函方法；经典解；爆破

0 引言

本文主要考虑如下n维等熵可压缩欧拉方程组的初边值问题:

(1)

其边界条件为：

u·n||x|=1=0，t≥0，

(2)

以及初始条件为：

(3)

对于可压缩欧拉方程组经典解的爆破[1-12]研究一直是人们关注的重点。当然,我们可以研究的形式也是多种多样;不过,一般主要集中在一维[8,11]或三维[1-3,6-7,9,12]空间中等熵[2-3,5,7-10,12]与非等熵[1,6,11],是否带有阻尼项以及是否有真空出现等常见情形。而证明经典解爆破常用的就是泛函方法,其核心的思想就是构造适当的泛函,通过分部积分,最后转化成黎卡提型微分不等式,再根据所假定的初始泛函可以证明解必定会在有限时间内爆破。往往这里所构造的泛函大都来源于文献[1],并且研究的结果都是针对初始动量所做的假设得到的。文献[9]则考虑了欧拉方程组的轴对称解,利用其特殊性,构造出了只与速度有关的泛函,同样证明了解的爆破。而在文献[10-11]中则是通过平面动力系统分析的方法研究了一类特殊形式的解,也得到了经典解的爆破。本文通过已研究的相关成果,在文献[12]的基础上,将三维可压缩欧拉方程组初边值问题经典解的爆破研究进而推广到n维空间,并且引入几个新的泛函,在几种关于初始动量的泛函足够大时,分别得到了经典解在某一时刻前必定爆破的结论。

1 相关定义与引理

定义

wn为单位球体的体积。则有

(4)

m(t)=m(0)。

(5)

2 爆破结论与证明

定义1

(6)

证明一方面，由引理1，可知

对F1(t)进行求导, 再由方程组(1),通过分部积分可以得到

(7)

其中

另外

综上，将其代入式(7)就可以化为

(8)

另一方面，再由Schwarz不等式

由于

所以

(9)

综合式(8)和式(9)得

(10)

当0≤t≤τ，上式可化为

(11)

由定理中条件可知

所以式(11)可以改写成

然后对上式两边同时在[0，t]上积分,就可得到

定义2

(12)

则 T<τ。

证明一方面,对F2(t)进行求导,然后再由方程组(1),通过分部积分得到

另外

将上式代入其前一式，即得

(13)

另一方面,再由Schwarz不等式

(14)

综合式(13)和式(14)得

(15)

(16)

当0≤t≤τ,根据定理假设条件可知

所以式(16)可以改写成

然后对上式两边同时在[0,t]上积分,就可得到

定义3

(17)

则T<τ。

证明首先,对F3(t)进行求导,然后根据方程组(1),通过分部积分得到

(18)

其次,由Schwarz不等式

(19)

综合式(18)和式(19)得

(20)

4 结 语

在流体力学中，可压缩欧拉方程组是一类重要的方程组，对其研究已经有大量的研究成果出现，研究范围包括了柯西问题和初边值问题，从不带阻尼项到具有阻尼项，从等熵情形到非等熵情形。研究内容分别涉及到了经典解的整体存在或经典解在有限时间内的爆破这两个问题。而根据所提的不同条件也产生了各种不同的爆破的结果。其中有些结果还未得到进一步的推广。例如从不带阻尼项到具阻尼项情形的爆破结果还需要完善，尤其带非线性阻尼项的结果较少，另外在有界区域情形相关的爆破现象还未建立相关的结论。正因为在流体力学中欧拉方程组占有重要的地位，所以研究可压缩欧拉方程组意义重大。

[1] SIDERIS T.Formation of singularities in three-dimensional compressible fluids[J].Communications in Mathematical Physics,1985,101(4):475-485.

[2] SIDERIS T,THOMASES B,WAND D.Long time behavior of solutions to the 3D compressible Euler equations with damping[J].2003，28(3):795-816.

[3] YANG X,WANG W.The suppressible property of the solution for three-dimensional Euler equations with damping[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2007,8(1):53-61.

[4] YUEN M.Blowup for the Euler and Eule-Poisson equations with repulsive forces[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2011,74(4):1465-1470.

[5] LIU T P.Compressible flow with damping and vacuum[J].Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics,1996,13(1):25-32.

[6] LIU T P,Yang T.Compressible Euler equations with vacuum[J].Journal of differential equations,1997,140(2):223-237.

[7] ZHU X,WANG W.The regular solutions of the isentropic euler equatons with degenerate linear damping[J].数学年刊B辑(英文版),2005,4(4):583-598.

[8] 熊显萍,朱旭生.带非线性阻尼项的等熵欧拉方程组正规解的爆破[J].西南大学学报(自然科学报),2014,(03):72-76.

[9] ZHU X,TU A.Blowup of the axis-symmetric solutions for the IBVP of the isentropic Euler equations[J].Nonlinear Analysis:Theory,methods & Applications,2014,95:99-106.

[10] LI T,WANG D.Blowup phenomena of solutions to the Euler equations for compressible fluid flow[J].Journal of Differential Equations,2006,221(1):91-101.

[11] LIANG Z.Blowup phenomena of the compressible Euler equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2010,370(2):506-510.

[12] ZHU X.Blowup of the solutions for the IBVP of the isentropic Euler equations with damping[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2015,432(2):715-724.

Blowup of the Classical Solutions for the IBVP of the n-dimensional Euler Equations

ZHU Xusheng,ZHAO Kangxin,FU Chunyan

(School of Science,East China Jiao Tong University,Nanchang 330013,China)

This paper discusses the blowup of classical solutions for the initial-boundary value problem of the isentropic Euler equations with linear damping inn-dimensional space.On the one hand,the local existence of the classical solutions is obtained and has limited speed by utilizing the theory for the quasi-linear symmetric hyperbolic systems.On the other hand,by constructing several different types of functional,the classical solution of initial-boundary value problem is proved to be blown up in finite time when the initial functional is large enough.

linear damping;Euler equations;initial-boundary value problem;functional methods;classical solutions;blowup

1673-5072(2016)04-0407-06

2016-05-20

国家自然科学基金项目(11161021,61262031,61472138,11561024)

朱旭生(1968—)，男，博士，副教授，主要从事偏微分方程研究。

朱旭生， E-mail:zhuxusheng0926@163.com

O175.2

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.04.009