叶明露

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)



集列的上(下)极限与其子列的上(下)极限的关系及应用

叶明露

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)

集列上(下)极限的计算公式已有, 但该公式对于复杂集列上(下)极限的计算却并不适用。本文建立了集列上(下)极限与其子列上(下)极限间的关系, 从而可以把复杂集列的上(下)极限的计算分解为简单的子列的上(下)极限的交与并的运算，并通过例子展示了这种方法的优点。

集列；上极限；下极限；极限

0 引言

集列的上(下)极限的计算是实变函数教学中的一个难点。 但由于本科教学课时所限, 对此内容介绍得不多。尽管文[1]和[2]都给出了集列上(下)极限的计算公式，但这个公式对于复杂的集列的上(下)极限的计算却并不好用。 因此, 如何计算复杂的集列的上(下)极限集是一个值得考虑的问题。

本文建立了集列的上(下)极限与其m分类(见定义5)的上(下)极限间的关系, 从而可以把复杂集列的上(下)极限的计算分解为简单的子列的上(下)极限的交与并的运算，从而降低了复杂集列上(下)极限计算的难度。 此外，文[3]总结了两个集列的上(下)极限集的运算法则, 有兴趣的读者可以参考。

本文的N指不包含0的自然数集。 记AB为集合A与B的差集。

1 基本概念与知识预备

首先我们回顾集列的一些相关概念和结论。 定义可参见文[4]和[5]。

2 集列上下极限与其子列上下极限的关系

下面我们讨论集列上下极限与其子列上下极限的关系。

证明(i)和(ii)由上下极限的定义可直接证明。 下面我们给出(iii)的证明。

x∈An，∀n∈I。

(1)

(2)

综合(1)(2)可知(i)成立。

(3)

x∈An，∀n≥N1，n∈I1且x∈An，∀n≥N2，n∈I2。

(4)

(5)

对于更一般的m分类, 我们有如下结论。

证明事实上, 我们可以把一个m分类{An∶n∈I1}，…，{An∶n∈Im}视为一个m-1分类，只需把指标集Im-1和Im视为一个整体Im-1∪Im即可。 注意到定理1在Im-1∪Im上也成立, 所以我们可以用数学归纳法及定理1来证明定理2。

特别地，我们如果把自然数集N以模为m(m≥2为正整数)的余数来进行分类，则有以下结论。

3 子序列上下极限与原序列上下极限的关系的应用

我们通过下述例子来表明定理2的应用。

注：定理2的优点在于可以把复杂集列的上(下)极限的计算分解为简单的子列的上(下)极限的交与并的运算, 从而降低了求解复杂集列上(下)极限的难度。

致谢魏勇教授对本文提出了许多修改意见和建议,在此感谢！

[1] 魏 勇.实变函数论新编[M].北京:科学出版社,2010.

[2] 程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3] 刘 婷,王贵君.集合列的上(下)极限及其应用[J].天津：天津商学院学报,2006,26(3):61-64.

[4] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津：南开大学出版社,1993.

[5] 王有一.集合列的上极限集与下极限集[J].宝鸡师范学院学报(自然科学版),1991,(2):96-98.

[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M]. 北京:高等教育出版社,2002.

The Connection between the Superior (Inferior) Limit of the Sequence of Sets and the Superior (Inferior) Limit of Its Subsequence and Its Application

YE Minglu

(College of Mathematics and Information,China West Normal University,Nanchong Sichuan 637009,China)

As we know,there exists the formula for computing the superior (inferior) limit of the sequence of sets.But this formula is unfit to compute the superior (inferior) limit of the sequence of complicated sets.In this paper,we established the connection between the superior (inferior) limit of the sequence of sets and the superior (inferior) limit of its subsequence.Thus,we decomposed a sequence of complicated sets into some subsequences of simple sets.Moreover,we used the intersection or the union of these superior (inferior) limits of simple subsequences to compute the superior (inferior) limit of this complicated sequence.Some examples were used to show the merit of this method.

sequence of sets;superior limit;inferior limit;limit

1673-5072(2016)04-0403-04

2015-10-07

四川省教育厅自然科学重点项目(15ZA0152) ； 西华师范大学博士科研启动基金(14E014); 西华师范大学校级创新团队(CXTD2014-4).

叶明露(1975—)，男，重庆渝北人，博士，副教授，主要从事非线性最优化研究研究。

叶明露，E-mail: yml2002cn@aliyun.com

O174.1

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.04.008