杨苍洲+崔红光

面对一个试题，大多数人都喜欢研究试题的解法，而笔者却更喜欢探究试题背后的故事.笔者常思考，命题者是如何得到问题，并将其设计成试题的呢？

试题的解题方法固然很值得研究，但是此类研究往往只停留于对试题较低层次的认识.而探究试题的命题背景、命题方法，不仅有助于在解题中寻找入口、理顺思路、开阔视野，从而提高解题水平，同时也能大幅提高教师的命题水平.下面笔者探究2016年高考四川卷函数与导数试题的命题方法，并根据此命题方法进行试题命制.

1试题与解答

题目（2016年高考四川卷理科）设函数f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使f（x）>1x-e1-x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）.

解析（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax-1x=2ax2-1x，x>0.

①当a≤0时，2ax2-1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减.

②当a>0时，

f′（x）=2ax+12ax-12ax.

当x∈0，12a时，f′（x）<0；

当x∈12a，+∞时，f′（x）>0.

故f（x）在0，12a上单调递减，在12a，+∞上单调递增.

（Ⅱ）令g（x）=1x-e1-x=ex-1-xxex-1，

令s（x）=ex-1-x，则s′（x）=ex-1-1.

而当x>1时，s′（x）>0，所以s（x）在（1，+∞）内单调递增.又由s（1）=0，有s（x）>0，

从而当x>1时，g（x）>0.

（1）当a≤0，x>1时，f（x）=ax2-a-lnx<0，此时f（x）

（2）当a>0且12a≤1时，即a≥12时，令h（x）=f（x）-g（x）B（x≥1），

h′（x）=2ax-1x+1x2-e1-x>x-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2>x2-2x+1x2>0.因此h（x）在（1，+∞）内单调递增.又由h（1）=0，从而当x>1时，有h（x）>0，即f（x）>g（x）成立.

（3）当a>0且12a>1时，由（Ⅰ）知f12a0，因此f（x）>g（x）不恒成立.

综上所述，a≥12.

2命题手法探究

上述试题是怎样命制出来的呢？

命题者构造了过定点（1，0）的函数族f（x）=ax2-a-lnx.随着实数a取值范围的变化，函数f（x）的单调性、极值都发生变化.

当a≤0时，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递减（如图1）；

当a>0时，函数f（x）在区间0，12a上单调递减，在区间12a，+∞上单调递增（如图2）.图1图2于是命题者设置了问题（Ⅰ）：讨论函数f（x）=ax2-a-lnx的单调性.

为了增加试题难度，命题者考虑引入新函数，于是构造了过点（1，0）的函数g（x）=1x-e1-x.

由于动函数f（x）与定函数g（x）相交于点（1，0）.于是……