江苏省海门市悦来初级中学 杨卫东

展示数学思维过程 优化学生学习进程

江苏省海门市悦来初级中学 杨卫东

本文主要讲解了笔者在课堂教学中通过精编教学题链、创设教学情境、激发群体智慧、贯穿“学材再建构”充分展示教学思维过程，加强“四基知识”的拓宽和延伸，激发学习兴趣，优化学生主体性学习进程，使数学教学真正成为数学活动的教学。

思维；学习；过程

21世纪的数学素质教育不仅要求教师具有渊博的数学知识，而且要求教师让学生从“学会”到“会学”乃至“会用”，即让学生掌握数学思想、数学方法，发展学生思维，提高数学分析和应用能力。要会学、会用，最根本的一条就是要求教师在传授知识中充分展示数学思维过程，加强“四基知识”的拓宽和延伸，组编教学链，激发学习兴趣，优化学生主体性学习进程，使数学成为数学活动的教学。

特级教师李庚南在“自学、议论、引导教学法”、“优化学习过程、改善教学结构”实验研究的基础上，继自身成功之经验，集实践总结之精华，及时提出了“学程导进技艺”和“学材再建构”的教学教改方法。意在教程与学程本质上是一致的：教法思路就是学法思路，而且学程是教程的出发点和归宿。旨在让教与学紧密结合，从而优化学生自主性的学习进程。何谓学材？学材就是指“学习的材料”，更是“基于教材而又以教材为最重要组成部分的学习的材料”，它还包括一些教学参考资料、教辅材料、多媒体资料，以及以所学核心知识为原点的周边其他一些可以服务于教学的有效的资料、材料或信息。学材应包含显性学材和隐性学材。“学材再建构”是指师生根据学习任务，为了实现学习效益的最大化，对各种主客观性学材进行主动加工重构的过程。笔者结合自身实践，总结如下：

教学内容是教学活动中最实质性的因素，是完成教学目的的凭借。它是由一定的知识、能力、思想与情感等方面的内容综合组成的体系。教学过程中，学生的身心发展水平、已有的智能结构、个性特点、能力倾向和学习前的准备状况等，均对教学活动具有影响。因此，教师只有发挥主体的创造性，重视教学内容，充分发挥教材的潜能作用，精编教学链，展示数学思维的变化发展过程，合理地引导学生进行联想，追求变异，有效地培养学生的探索性思维能力，才能提高课堂教学密度，优化课堂教学结构，拓展应变及应用能力，为主体性学程的形成打下坚实的基础。

例1 如图所示，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点。求证AB⊥AC。

分析：

（1）乍看结论AB⊥AC，学生顿知应证∠BAC＝90°。

（2）习惯思维促使学生思索着：∠ABC＋∠ACB＝90°，易证吗？

笔者在学生的读图、观察、思考中展示着公切线的性质、两圆的位置特征所能反映的数学思维过程，并结合已有的数学思想及数学方法，使问题迎刃而解，学生的脸上露出了笑容，而且兴致一下子高涨起来。

（3）接着，笔者立即从圆周角定理推论（3）入手，让学生温故而知新，并结合两圆公切线知识（过A作两圆内公切线），使AB⊥AC的结论迅速呈现在学生的眼前。此时学生情绪更高涨了，知识的兴奋点达到了最高点，笔者顺势总结出“遇相切两圆，常作公切线”的辅助线常见作法，增强了学生的数学应用技能。

为了更好地满足学生强烈的求知欲，努力培养学生的技能技巧，笔者组编了以下教学链：

例1中，设BC延长线交直线O1O2于P，直线O1O2交⊙O1于F，交⊙O2于E，连接BF。

求证：（1）以BC为直径的圆与O1O2相切于A点；（2）AC∥FB；（3）BC2＝AF·AE；（4）AB2＝AC·BF；（5）PA2＝PE·PF＝PB·PC；（6）PA2/PC2＝PO2/PO1；（7）设PA＝6cm,BC=5cm,求PC的长。

以上例题的延伸与拓展，把三角形、平行线、相似三角形、圆、一元二次方程等知识有机地结合起来，达到了举一反三，触类旁通之功效。同时，重视了教学内容，展示了数学思维，提高了教学链的应用能力。

教学过程既是一个认识的理性过程，同时也是一个情感的、社会化的非理性过程。教学中教师要尽可能地挖掘教材内涵，展示知识发展的背景，创设恰当的情境教学，激发学生思维的动机和兴趣，优化学生学习进程。

例如，学习勾股定理这一内容时，笔者首先对勾股定理作出简介：它是一个十分重要而著名的定理，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在其他自然学科中也常常用到，因为我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称之为“勾股定理”。在公元前500多年，古希腊人毕达哥拉斯发现了这个定理，许多人又把它叫做毕达哥拉斯定理。

早在公元前1000年，我国古代数学书《周髀算经》早已记载着这个定理是商高发现的，这说明我国发现这个定理比外国至少早500年。大家就应该称之为“勾股定理”还是“毕达哥拉斯定理”呢？全班同学异口同声地高呼“勾股定理”，这不仅激发了学生的爱国热情，同时激发了学生学习的兴趣。

在教师的动画演示和数学思维的启发下，结合学生的认真思索，这一定理的顺利证明足以说明创设情境教学的重要性。

同时，早在1300多年前，我国古代劳动人民建筑了“线条柔和，构造空灵，既稳重又轻盈，寓雄伟于秀逸”的赵州石拱桥，笔者介绍它建立的历史背景和新中国领导人的重视程度，以及作为重点保护文物的思想情境教学，无疑给垂径定理、勾股定理的正确合理使用增添了意想不到的推动作用。

再结合我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它由4个直角边长为a、b的全等直角三角形中间的小正方形拼成的一个大正方形（如右图所示）。若大正方形的面积是13，每个直角三角形两直角边的和是5，则小正方形的面积为（ ）。

A.1/2 B.1 C.1/4 D.2

顿时，学生的兴趣感在自我理解和理顺中激发到了最高点。

注重引导学生参与多边互动方式的意识性，开发交流学习的潜能，让智慧交汇，让思维闪光，让课堂效率提高，这正是“学材再建构”教学的宗旨所在。

事实上，师生间、生生间这种互动的多边性，能活跃课堂气氛，培养学生的表达能力和严密的逻辑推理能力，更能使学生体会小组合作的成功感。

笔者坚持不懈地贯穿“学材再建构”于课堂教学，集群体智慧于一体，使全体学生共同参与和开展数学思维，真正体现了现代化形势下的素质教育，从而有效地提高教学质量。

例2 （共探综合题）如图所示，已知点A（－4,0）和点B（6,0），第三象限内有一点P，它的横坐标为－2，并且满足条件tan∠PAB·tan∠PBA＝1。（1）求证：△PAB为直角三角形；（2）求过P、A、B三点的抛物线的函数解析式，并求出抛物线的顶点坐标。

分析：

（1）个别学生的视野紧盯在tan∠PAB·tan∠PBA＝1上，从中挖掘出∠PAB＋∠PBA＝90°，进而得证△PAB为直角三角形。

（2）各小组的讨论情况如何呢？

a认为从（1）这个角度出发思维狭窄，如若不熟悉这两角之间的关系，这道题就很难突破。

b认为利用正切的定义是根本，何不借助直角三角形，把tan∠PAB·tan∠PBA＝1转化成边边关系呢？

c认为可证出PD2＝DA·DB，接下来怎么办呢？

①可证PA2＋PB2＝AB2；

②可证△PDA∽△BDP。

（3）利用群体智慧，得出：利用正切定义，转化线段关系是常规思路，证明三角形相似或利用勾股定理逆定理，这是几何与代数的辩证统一。

（4）当P坐标求出时，学生又产生了两种方法求二次函数解析式：

①设为一般式：y=ax2+bx+c；

②设为交点式：y=a(x+4)(x-6)。

（5）经个人思索，小组讨论，全体交流后，一致认为这都是可采用的方法，因为还得求顶点坐标。

无疑，展示数学思维的过程淋漓尽致，学生参与的程度越大，那么课堂教学质量的提高也就越快。

数学教育家曹才翰先生曾指出：“数学学习与其说是学习数学知识，倒不如说是学习数学思维过程。”可见，展示思维过程的重要性。

众所周知，在如今素质教育的新形势下，从传统的“以教师为中心”转向实施“以学生为中心”的教学模式，正是李庚南老师教学法的目标所在，只要我们理论联系实际，脚踏实地，认真探索，勤于思考，善于总结经验教训，一定能使素质教育在实践中不断更新、不断推广、不断完善！