广东省佛山市第一中学(528300) 杨哲

从一道习题探究椭圆、双曲线新的统一

广东省佛山市第一中学(528300) 杨哲

《数学教学通讯》(中等教育)2013年4期、12期分别发表郭新祝老师、周金兰的论文《在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的统一》、《也谈在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的统一》,探究教材(苏教版选修4-4)中《圆锥曲线的极坐标方程》知识点,给出了在椭圆的左、右、上、下焦点情况下的圆锥曲线极坐标方程.受此启发,笔者从另外角度进一步探究.

例题:(人教版高中数学课本选修2-1第50页,B组第2题)一动圆与圆F:x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆F′:x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线.

解: 先回顾文中需要用到的以下定义:

椭圆第一定义:到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.

双曲线第一定义:到两定点距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线.

设动圆圆心为P,半径为R:动圆与圆F的圆心距为d1,动圆与圆F′的圆心距为d2,由已知条件,将两定圆方程标准化得:

(x+3)2+y2=4:(x-3)2+y2=100,从而知道定圆圆心坐标分别为F(-3,0)与F′(3,0):圆F的半径R1=2,圆F′的半径R2=10:所以,由动圆P与圆F外切,有d1=R+R1=R+2:由动圆P与圆F′内切,有d2=R2-R=10-R.故d1+d2=12,为定值,由椭圆的第一定义及椭圆的标准方程,知a=6,c=3从而b2=a2-c2=27,故轨迹是椭圆,图1是用几何画板画出的示意图,动圆圆心P的轨迹是一椭圆.

图1 动圆圆心P的轨迹

这类习题通常给定了两个定圆的方程,以及动圆和定圆相切的方法,再来求动圆圆心的轨迹,最后结果通常是椭圆,或是双曲线的一支.那么,如果把特殊性……