☉湖北省秭归县归州镇初级中学 叶先玖

合情转化合理提炼适度变式
——一道等腰三角形底角平分线的习题解答及思考

☉湖北省秭归县归州镇初级中学 叶先玖

以等腰三角形这一基本图形为载体，与角平分线相融合，可以借题发挥，生长出很多具有训练思维的题.本文以“等腰三角形底边、底角平分线及它分腰所成的线段”的数量关系为例，掌握“截长补短”证明线段和差数量关系的操作，并探讨习惯方法受阻时，怎么突破障碍，思考解题教学时，如何引导学生合情转化、合理提炼、适度变式，丰富解题经验，提升解题效率，希望得同仁的斧正.

一、题目呈现

如图1，△ABC中，AC=BC，∠C=100°，AD平分∠CAB交BC于D，求证：AD+CD=AB.

图1

解答本题时，最常见的是从所证结论AD+CD=AB出发，执果索因，利用截长补短这一常见的基本套路解决.那么，如何充分利用“AC=BC，∠C=100°，AD平分∠CAB”这些条件，执因索果，构图转化而获思路？由AC=BC，想到过C作AB边上的垂线，利用三线合一；由AD平分∠CAB想到向角的两边作垂线或作角的一边的平行线；由∠C=100°，能想到构建一些图等.学生解答时，却处处受阻而最终放弃.那么，这些常用方法和思路，是不是不能解决这道题？带着这些疑问，我与学生一道展开研讨，并收获了以下证法.

二、解法探讨

证法1：截长法构等腰三角形：考虑到所证结论AD+ CD=AB中，AB最长，所以在AB上取一段AF=AD得一个等腰三角形，再证BF=CD.

证明：如图2，取AF=AD，所以∠ADF=∠AFD.由AC= AB，∠C=100°.可得∠B=∠CAB=40°.又因为AD平分∠CAB，则∠DAB=20°.在△DAF中，由三角形内角和可得∠DAB+∠ADF+∠AFD=180°，从而得∠AFD=80°.因为∠AFD是△BDF的一个外角，所以∠AFD=∠B+∠BDF，从而可得∠B=∠FDB=40°，所以DF=BF.

再取AE=AC，连接DE.在△ACD和……