华南师范大学数学科学学院(510631)张潘越

一元二次方程的四种基本解法及其内在联系

华南师范大学数学科学学院(510631)张潘越

一、直接开平方法

直接开平方法是对形如:(ax+h)2=k,(k≥0)的方程左右两边直接开平方的方法.直接开平方法是解一元二次方程的最基本解法,它是配方法、公式法的基础,因为配方法和公式法最终都是通过开方来对方程进行降次的.

例1.1求一元二次方程(2x+2)2=4的解.

解:显然(2x+2)2=4符合直接开平方的形式,于是对两边直接开平方得:2x+2=±2,即原方程的解为:x1=0和x2=−2.

例1.2求一元二次方程9x2+18x+9=0的解.

解:易知方程9x2+18x+9=0可化为:(3x+3)2=9,符合直接开平方的形式,于是对两边直接开平方得:3x+3=±3,即原方程的解为:x1=0和x2=−2.

显然,并不是所有的一元二次方程(ax+h)2=k,(k≥ 0)都以的形式出现,这意味着并不是所有的一元二次方程都可以用直接开平方法来求解,例如x2+2x−3=0就不能用此方法来求解,这就需要我们寻求其它的方法来对这种形式的一元二次方程进行求解.

二、配方法

配方法即将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)左边配成完全平方的形式,然后利用开方将x的次数降为一次进而求得方程的解的方法.配方法可以说是解一元二次方程中最为核心的方法,因为配方法不仅是解一元二次方程的通用方法,而且配方法的可操作性强,步骤也易于学生理解掌握,另外配方法也是使学生理解掌握公式法的关键,因此配方法是一元二次方程教学中的重点.

配方法的解题步骤如下:

①移常数项.即将ax2+bx+c=0(a≠0)的常数c移到等式的右边,得到……