江西省奉新县第二中学(330700)余秋根

谈一谈“韦达定理运用中的隐含条件”

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一元二次方程根与系数的关系定理也称为韦达定理,它是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达定理是指:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,那么运用该定理求方程中参数k的值时,一定要注意定理的隐含条件:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必须有实数根(即根的判别式∆≥0).下面举例解析如下:

例1:关于x的方程x2+(k−1)x+k2=0的两根互为倒数,则k=____.

甲同学答案:k=±1

请问:甲同学答案是否完全正确呢?

乙同学回答:这个答案有错误,正确解答如下:

解:设方程两个实数根分别为x1,x2,则x1·x2=k2=1,∴k=±1,

当k=1时,方程为x2+1=0,∆=−4,无实数根,因此k=1不成立.

当k=−1时,方程为x2−2x+1=0,∆=0,有实数根,因此k=−1成立.∴k=−1.

例2:关于x的方程x2+(k−2)x+2k−1=0两根互为相反数,求k的值.

解:设方程两个根分别为x1,x2,则x1+x2=−(k2−4)=0,∴k=±2,

当k=2时,方程为x2+3=0,∆=−12,无实数根,因此k=2不成立.

当k=−2时,方程为x2−5=0,∆=20,有实数根,因此k=−2成立.∴k=−2.

例3:已知x1,x2是关于x的方程x2−(k−1)x+2k=0的两个实数根且求k的值.

解:x1+x2=k−1,x1·x2=2k而∴(x1+x2)2−2x1·x2=8,∴(k−1)2−4k=8,即k2−6k−7=0,解得k1=7,k2=−1.

当k=7时,方程为x2−6x+14=0,∆=−20,无实数根,因此k=7不成立.

当k=−1时,方程x2+2x−2=0,∆=12,有实数根,因此k=−1成立.∴k=−1.

例4:已知x1,x2是关于x的方程x2−(2k−3)x+k2+ 1=0的两个根且x1+x2+2x1·x2=3,求k值.

解:x1+x2=2k−3,x1·x2=k2+1,代入得2k−3+2(k2+1)=3即k2+k−2=0,解得k1=1, k2=−2.

当k=1时,方程x2+x+2=0,∆=−7,无实数根,因此k=1不成立.

当k=−2时,方程x2+7x+5=0,∆=29,有实数根,因此k=−2成立.∴k=−2.

例5:是否存在实数k,使关于x的方程kx2+(k+2)x+的两个实数根的倒数和等于0?

评注:例1,2,3,4中各求得两个k的值,经检验∆的符号都有一个k值不合题意二舍去,而例5中好不容易只求得一个k值为什么也不符合题意而舍去.其实道理很简单,当我们刚开始解题十时根本没有……