李洪梅，李 静

(泰山学院 数学与统计学院，山东 泰安 271000)



P-laplacian算子型奇异边值条件的上下解方法

李洪梅，李 静

(泰山学院 数学与统计学院，山东 泰安 271000)

本文利用上下解方法，讨论一类具p-laplacian算子型奇异边值问题解的存在性.

奇异边值问题；正解；上下解方法

1 预备知识

考虑p-laplacian算子型奇异边值问题

(1)

对于边值问题

(2)

其中在u=0，t=0，1处可以有奇性，文献[1]利用上下解方法，给出边值问题(2)正确的存在性.本文的不同主要是将边值条件复杂化，然后在此条件下给出正解的存在性证明.

2 问题(1)的正解存在性

考虑问题

(3)

在本节讨论中，我们假设如下条件成立[2-4]：

(H1)q∈c(0，1)，且在(0,1)上q>0，且

(H2)f∶[0，1]×(0，+∞)→R是连续的，θ∶R→R是连续的不减函数，且θ(0)=0，

(H5)存在一个函数α∈c[0，1]∩c1(0,1)，φp(α′)∈c1[0，1]，

在[0，1)上α>0，对n=3，4，…，

在[0，1]上βn(t)≥ρn；

引理 对

(4)

假定下列条件满足

(h1)g∶(0，1)×R→R是连续的

(h2)∃q∈c(0,1)，q>0，在(0，1)上有

则(4)有解u∈c[0，1]∩c′(0，1)，φp(u′)∈c1(0，1).

定理1 设(H1)-(H8)成立，则问题(1)有一个解u∈c[0，1]∩c′(0，1)，φp(u′)∈c1(0，1)，且在[0，1]上u(t)≥α(t).

证明：取定n=3，4，…，

考虑边值问题：

(5)

其中

我们先证

un(t)≥ρn，t∈[0，1]

(6)

若(6)不成立，那么un(t)-ρn在t0∈[0，1]有一个负的最小值，

当t0=0时，un(t0)-ρn<0，因此存在δ>0，当0

1.1.1 供试土壤 所有土样均采自0～20 cm土层，自然风干后，经研磨然后过0.9 mm筛(20目筛)备用。采样点分布在贵州省9个地区，每个地区所采土样均具代表性，有一定特异性，可用来探讨不同地区农业土壤中镉的吸附解析规律。土样采集地及其理化性质见表1。

下证

un(t)≤βn(t)，t∈[0，1]

(7)

若(7)不成立，那么un(t)-βn(t)在t0∈[0，1]有一个正的最大值.

当t0∈(0，1)时，φp((un-βn)′(t0))=0，且(φp((un-βn)′(t0)))′=0，

(φp((un-βn)′(t0)))′

=-q(t0)f*(t0，(un-βn)(t0))

=-q(t0)f*(t0,un(t0))+q(t0)f*(t0，βn(t0))

=-q(t0)(f(t0，un(t0))+r(βn(t0)-un(t0)))+q(t0)f(t0，βn(t0))

=-q(t0)r(βn(t0)-un(t0))>0，

矛盾.

(φp((un-βn)′(t0)))′

=-q(t0)f*(t0，(un-βn)(t0))

=-q(t0)f*(t0,un(t0))+q(t0)f*(t0，βn(t0))

=-q(t0)r(βn(t0)-un(t0))>0，

矛盾.

矛盾.

因此(7)式成立.

再证

un(t)≥α(t)，t∈[0，1]

(8)

若(8)不成立，那么un(t)-α(t)在t0∈[0，1]有一个负的最小值，

当t0∈(0，1)时，φp((un-α)′(t0))=0，且(φp((un-α)′(t0)))′=0.

(φp((un-α)′(t0)))′

=-q(t0)f*(t0，(un-α)(t0))

=-q(t0)f(t0,un(t0))-(φp(α)′)′

=-[q(t0)f(t0，un(t0))+(φp(α)′)′]<0，

矛盾.

矛盾.

因此(8)式成立.

我们最后证明{un}n∈Z+在[0，1]上是一致有界和等度连续的.

由H8知{un}n∈Z+是等度连续的.由Arzela-Ascoli定理[4]存在{un}n∈Z+的子序列，不失一般性，仍记……