李洪梅，李 静

(泰山学院 数学与统计学院，山东 泰安 271000)



P-laplacian算子型奇异边值条件的上下解方法

李洪梅，李 静

(泰山学院 数学与统计学院，山东 泰安 271000)

本文利用上下解方法，讨论一类具p-laplacian算子型奇异边值问题解的存在性.

奇异边值问题；正解；上下解方法

1 预备知识

考虑p-laplacian算子型奇异边值问题

(1)

对于边值问题

(2)

其中在u=0，t=0，1处可以有奇性，文献[1]利用上下解方法，给出边值问题(2)正确的存在性.本文的不同主要是将边值条件复杂化，然后在此条件下给出正解的存在性证明.

2 问题(1)的正解存在性

考虑问题

(3)

在本节讨论中，我们假设如下条件成立[2-4]：

(H1)q∈c(0，1)，且在(0,1)上q>0，且

(H2)f∶[0，1]×(0，+∞)→R是连续的，θ∶R→R是连续的不减函数，且θ(0)=0，

(H5)存在一个函数α∈c[0，1]∩c1(0,1)，φp(α′)∈c1[0，1]，

在[0，1)上α>0，对n=3，4，…，

在[0，1]上βn(t)≥ρn；

引理 对

(4)

假定下列条件满足

(h1)g∶(0，1)×R→R是连续的

(h2)∃q∈c(0,1)，q>0，在(0，1)上有

则(4)有解u∈c[0，1]∩c′(0，1)，φp(u′)∈c1(0，1).

定理1 设(H1)-(H8)成立，则问题(1)有一个解u∈c[0，1]∩c′(0，1)，φp(u′)∈c1(0，1)，且在[0，1]上u(t)≥α(t).

证明：取定n=3，4，…，

考虑边值问题：

(5)

其中

我们先证

un(t)≥ρn，t∈[0，1]

(6)

若(6)不成立，那么un(t)-ρn在t0∈[0，1]有一个负的最小值，

当t0=0时，un(t0)-ρn<0，因此存在δ>0，当0

1.1.1 供试土壤 所有土样均采自0～20 cm土层，自然风干后，经研磨然后过0.9 mm筛(20目筛)备用。采样点分布在贵州省9个地区，每个地区所采土样均具代表性，有一定特异性，可用来探讨不同地区农业土壤中镉的吸附解析规律。土样采集地及其理化性质见表1。

下证

un(t)≤βn(t)，t∈[0，1]

(7)

若(7)不成立，那么un(t)-βn(t)在t0∈[0，1]有一个正的最大值.

当t0∈(0，1)时，φp((un-βn)′(t0))=0，且(φp((un-βn)′(t0)))′=0，

(φp((un-βn)′(t0)))′

=-q(t0)f*(t0，(un-βn)(t0))

=-q(t0)f*(t0,un(t0))+q(t0)f*(t0，βn(t0))

=-q(t0)(f(t0，un(t0))+r(βn(t0)-un(t0)))+q(t0)f(t0，βn(t0))

=-q(t0)r(βn(t0)-un(t0))>0，

矛盾.

(φp((un-βn)′(t0)))′

=-q(t0)f*(t0，(un-βn)(t0))

=-q(t0)f*(t0,un(t0))+q(t0)f*(t0，βn(t0))

=-q(t0)r(βn(t0)-un(t0))>0，

矛盾.

矛盾.

因此(7)式成立.

再证

un(t)≥α(t)，t∈[0，1]

(8)

若(8)不成立，那么un(t)-α(t)在t0∈[0，1]有一个负的最小值，

当t0∈(0，1)时，φp((un-α)′(t0))=0，且(φp((un-α)′(t0)))′=0.

(φp((un-α)′(t0)))′

=-q(t0)f*(t0，(un-α)(t0))

=-q(t0)f(t0,un(t0))-(φp(α)′)′

=-[q(t0)f(t0，un(t0))+(φp(α)′)′]<0，

矛盾.

矛盾.

因此(8)式成立.

我们最后证明{un}n∈Z+在[0，1]上是一致有界和等度连续的.

由H8知{un}n∈Z+是等度连续的.由Arzela-Ascoli定理[4]存在{un}n∈Z+的子序列，不失一般性，仍记为{un}n∈Z+，在[0，1]上，一致收敛于u∈c[0，1].

un(t)满足

定义算子Nλ∶c[0，1]→c[0，1]如下：

由文献[2]知，Nλ是全连续的.

由于f(s,u)在[0，1]×(0，α0]在任一紧子集上一致连续，故当n→∞时

(9)

所以u(t)是(1)的解，且满足u∈c[0，1]∩c1(0，1)，φp(u′)∈c1(0，1).

[1]Ravi P.Agarwal,Haishen Lü,Donal O'Regan.Existence theorems for the one-dimensional singular p-laplacian equation with sign changing nonlinearities[J].Appled Mathematics and Computation,2003，143(1)：15-38

[2]李翠哲，葛渭高.P-laplacian奇异半正单调问题的非负解[J].应用数学学报，2003，26(3)：434-442.

[3]郭彦平，葛渭高.二阶奇异非线性边值条件的上下解方法[J].数学学报，2003，46(5)：1007-1016.

[4]Da jun Guo,V.Lakshmikantham.Nonlinear Integral Equations in Abstrat Spaces[M].London：Kluwer Academic Publishers，1996.

An Upper and Lower Solution Approach to P-laplacian with Singular Boundary Conditions

LI Hong-mei, LI Jing

(School of Mathematics and Statistics, Taishan University, Tai'an, 271000, China)

Using an upper and lower approach, this paper discussed the existence of positive solutions for singular boundary value problems of form (φp(u′))′+q(t)f(t,u)=0，0

singular boundary value problem; positive solutions; upper and lower solution approach

2016-08-26

泰山学院引进人才科技计划项目(Y-01-2013014)

李洪梅(1982-)，女，山东泰安人，泰山学院数学与统计学院讲师.

O175.8

A

1672-2590(2016)06-0042-05