杨茗舒 李修清 王彦辉

(桂林航天工业学院 理学部, 广西 桂林 541004)



空间上三元素数字集自仿测度的谱性质

杨茗舒*李修清 王彦辉

(桂林航天工业学院 理学部, 广西 桂林 541004)

迭代函数系；自仿测度；三元素数字集；正交指数函数

(1)

(2)

自仿测度的谱与非谱等问题等在近几年引起了广泛的关注(见[1-6]), 归根结底为研究L2(μM,D)空间中正交指数函数的特征, 即(M,D)在什么条件下能够使μM,D成为谱测度或非谱测度? 前人关于某些三元素数字集的自仿测度的谱与非谱性质有了许多研究。文献[5]研究了当扩张矩阵M∈M2(Z), D⊂Z2分别为

1 预备知识

引理1.1[3]在Z-相似变换下谱对与和谐对的性质不变。

引理1.2[2]若M∈Mn(Z)为扩张矩阵，D与S是Zn的有限子集，使得(M-1D,S)为和谐对，0∈D∩S。假设零点集合Z(mM-1D(x))∩T(M*,S)=∅，则(μM,D,Λ(M,S))为谱对。

2 主要定理及其证明

记M1:=P-1MP，D1:=P-1D，其中

由引理1.1可知, μM,D与μM1,D1的谱性质相同。

(3)

其中*代表与p1,p2,p3有关的数。

(4)

其中

(5)

(6)

即

(7)

由此可得

(8)

其中

其中*代表与p1,p2,p3有关的数。

当p1∈3Z+1时, 可得到如下结论：

(b)如果ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)t∈(A1-A1)∪(A2-A2), 则ξ1=Z。

(d)如果ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)t∈A1+A2, 则ξ1=Z。

假设L2(μM,D)空间中有4个相互正交的指数函数，它们分别是:

e2πi<λ1,x>,e2πi<λ2,x>,e2πi<λ3,x>,e2πi<λ4,x>

则

(9)

记λj-λk=(xj,k,yj,k,zj,k)t∈R3, 1≤j≠k≤4, 由(9)可知

λ2-λ1,λ3-λ1,λ4-λ1,λ3-λ2,λ4-λ2,λ4-λ3∈A1∪A2

(10)

根据抽屉原理可知, 集合A1与A2中必有一个集合至少包含上述六个元素中的三个。事实上这是不可能的。例如, 假设

λ2-λ1,λ3-λ1,λ4-λ1∈A1,

则

λ3-λ2=(λ3-λ1)-(λ2-λ1)∈A1-A1

λ2-λ1,λ3-λ2,λ4-λ3∈A1,

则

λ4-λ2=(λ4-λ3)+(λ3-λ2)∈A1+A1,

λ4-λ1=(λ4-λ2)+(λ2-λ1)∈A2+A1,

类似的总可以得到矛盾, 因此假设不成立, 可见L2(μM,D)空间中至多有3个相互正交的指数函数。

当p1∈3Z+2时的证明方法与上述当p1∈3Z+1的证法完全类似, 略去。从而定理2.2得证。

推论2.1为定理1.2中当a=b=c=0时的情形。此推论也为文献[9]中的定理2.3.1, 由此可见本文的结论更加广泛。

3 结束语

本文首先讨论了由三阶下三角扩张整数矩阵M与三元素共线数字集D所对应的自仿测度μM,D的谱性质, 但对于任意的三阶扩张整数矩阵M与定理1中的数字集D所对应的μM,D的谱性质有待进一步研究；……