杨一军，赵 鑫，王江涛，邹 峰，姜恩华

（淮北师范大学 物理与电子信息学院，安徽 淮北 235000）

电磁能量和角动量守恒的一致性讨论

杨一军，赵 鑫，王江涛，邹 峰，姜恩华

（淮北师范大学 物理与电子信息学院，安徽 淮北 235000）

通过分析处于变化外磁场中带电导体的行为，发现各种形式能量同时出现的现象，经计算，给出电磁能流、电磁能量、焦尔热能和机械转动能量间关系，并用电磁体系的角动量守恒定律加以佐证，说明守恒律的一致性.

电场；磁场；电磁能量；电磁角动量

0 引言

近年来，讨论电磁能量的文献不断出现［1-3］，电磁能量成为人们关注的焦点之一，但同时涉及到电磁能流、机械能量以及焦耳热能的报道尚不多见.本文通过分析处于变化磁场中带电导体圆柱的行为，发现当磁场减小时，部分电磁能量以能流形式经闭合高斯面流出，面内电磁能量减少；同时又有部分电磁能量转为焦耳热被消耗；还有一部分转为体系的机械转动能量.经计算说明在电磁体系能量转化过程中，以不同能量形式同时出现的相互关系，给出带电体系电磁能量守恒的全面、完整图像.经电磁体系角动量守恒定律和欧姆定律的佐证，表明结果的正确性，同时也说明因转动引起的附加磁场满足楞次定律的要求.

1 模型的建立和计算

对于高为h、半径为R、电阻率为ρ的带电导体圆柱，在h≫R条件下，可略去边缘效应，认为电荷以面电荷形式均匀分布于外表面，这时库仑场Ec仅有径向分量

其中σ为面电荷密度.将其置于如图1所示的外磁场中，当外磁场恒定时，体系处于稳定状态.现以带电导体圆柱旋转对称轴为z轴、中点为坐标原点，建立柱坐标系，并以z轴为纵轴，做高为（ll＜h），半径为r′（r′＞R）的柱形高斯面（如图1所示），考察外磁场变化时体系的行为（设B0随时间减小）.根据电磁体系能量守恒定律［4］，有

图1 圆柱形高斯面

式（2）表明：在单位时间内，由高斯面外部流入的电磁能量，等于电磁场对带电体系做的功和面内电磁能量的增加.将式（2）变形在柱坐标系下展开有

其中Ei为磁场变化时产生的感应电场.在B0(r,θ,z,t)=B0(t)ez条件下有

B′是由感应电场相对应的感应电流产生，在轴对称、无穷长条件下可利用螺线管模型，由安培环路定理∮H∙dl=∫j∙dS=∫Ei∙dS/ρ得到

B″是变化的电磁场力矩作用于导体圆柱，使其以角速度ω旋转时，面电荷随柱体旋转产生面电流α(=σω×R)所形成的附加磁场，表达式为

由楞次定律不难判断，在外磁场B0随时间减小时，其方向沿z轴正向，与式（6）一致.为讨论方便，假设：

1）外磁场B0仅随时间作线性减小变化，有

2）圆柱质量足够大，加速缓慢，有

结合上述假设条件，略去辐射场，将式（1）、（4）～（6）带入式（3），结合对称性，对图1高斯面可得：单位时间流入的电磁能量（式（2）左端）为

根据式（7）知式（9）结果为负，表示有电磁能量向系统外流出，体系内电磁能量减少.而单位时间面内电磁能量的减小量（式（2）右端第2项）可表示为

可以看到，高斯面内电磁能量减少由3部分组成：第一为式（10）右端第一项，是经高斯面与外界交换的能量（当B0随时间减小时，值为正，表示电磁能量减少），说明高斯面内电磁能量经界面流出后减少，与式（9）计算自洽；第二是式（10）右端第二项，恒大于零，是体系消耗的焦耳热；最后一部分是结果中的第三项，是带电导体的转动动能对时间的变化率，反映电磁能量转为机械能.上述计算结果表明，当高斯面内电磁能量减少时，一部分流出界面，一部分转为焦尔热，还有一部分转为机械能量.

最后得到电磁场对带电体系在单位时间所做功（式（2）右端第一项）为

式（11）表明，若不考虑过程，仅从结果考察，则场量在变化时，对带电体系所做功一部分转为焦耳热，一部分转为体系的转动能量，与能流无关.

2 讨论

2.1 焦耳热

根据Ohm定律的微分形式，单位时间的焦耳热能为

2.2 机械转动能量

由电磁体系角动量守恒表达式［5］，其对时间的变化率为

其中，T电磁场角动量流密度张量

式（13）右端第一项为

考虑到上、下底面的对称性，积分时抵消为零，（13）式右端第2项为

则按带电体系角动量守恒定律，有

在定轴转动条件下，转动能量对时间变化率为

将式（17）代入式（18）可知，式（10）第三项为体系获得的转动能量.同时由式（17）知，转动沿z轴正向，满足楞次定律.不难理解，电磁体系的能量守恒和角动量守恒都源于麦克斯韦方程，遵循自然界普遍规律，在处理同一问题时应一致.

3 结论

处于外磁场中带电导体，当磁场变化时，高斯面内的电磁能量不仅通过界面以能流形式与外界进行交换，也有部分转为焦耳热能以及体系的转动机械能量，给出同时出现各种形式能量情况下带电体系能量守恒定律的完整图像.经电磁体系的角动量守恒定律和欧姆定律佐证，说明体系满足能量守恒，表明两个守恒律的一致性.

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［5］蔡圣善.经典电动力学［M］.上海：复旦大学出版社，1985：48-56.

Discussion on the Consistency of the Conservation of Electromagnetic Energy and Angular Momentum

YANG Yijun，ZHAO Xin，WANG Jiangtao，ZOU Feng，JIANG Enhua
（School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，235000,Huaibei，Anhui,China）

By analyzing a charged conductor placed in changing magnetic field，it is found that a phenomena of different energy forms appeared simultaneously.The relations among the energy flux，electromagnetic ener⁃gy，Joule heat and the rotational mechanical energy are presented by calculating，and it is verified by using the conservation of angular momentum for the electromagnetic system.Consequently，the consistency of the conversation laws for the charged system is given.

electric field；magnetic field；electromagnetic energy；angular momentum for the electromagnetic

O 441

A

2095-0691（2016）04-0048-04

2016-09-21

安徽省高等学校自然科学研究一般项目（KJ2016B005）；安徽省教育厅名师工作室（2015msgzs138）；一般教研项目（2014jyxm166，2015jyxm163）；线性电子线路资源共享课（2012gxk057）

杨一军（1956- ），男，浙江宁波人，教授，研究方向：电子信息.