◇ 江苏 沈永彬

空间中线线平行关系的寻找

◇ 江苏 沈永彬

空间中的平行关系主要有线线平行、线面平行、面面平行,解题中这3种关系可相互推导、利用,其中线线平行是解线面平行、面面平行问题思维的切入点,对线线平行的寻找常可利用平面几何中的线线平行关系,如下面的例1.

例1 (2016年北京卷)如图1所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.

(1)、(2)略.

图1

(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.

本题第(3)问的求解,可取PB的中点F,连接EF.由三角形中位线性质定理可得EF∥PA,再利用线面平行的判定,即可证明欲证结论.

三角形中位线是寻找线线平行最常用的方法,特别是当题中已知某一线段的中点时,常考虑利用三角形的中位线性质证明平行关系.此方法的应用关键是构造出中点,构造时可直接选取中点,也可借助平行四边形的对角线互相平分、等腰三角形三线合一的性质等.

在不同题目类型中线线平行有不同的构造方式,具体还有如下几种.

1 利用平行的传递性

平行的传递性,即若直线a∥b,b∥c,则a∥c.

例2 (2016年山东卷)在如图2所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.

(1)已知AB＝BC,AE＝EC,求证:AC⊥FB;

(2)已知G、H分别是EC和FB的中点.求证: GH∥平面ABC.

图2

(1)略.

(2)本题的求解可取FC的中点M,连接GM、HM(如图3),通过证明面面平行来证明线面平行.而面面平行也须从线线平行入手.

图3

由三角形中位线性质得HM∥BC,GM∥EF,而EF∥BD,所以GM∥BD,即利用平行的传递性证明了线线平行.

2 构造平行四边形

平行四边形具有对边平行且相等的性质,因此解题中可通过构造平行……