◇ 辽宁 金钟植(特级教师)

从“标准方程”的含义谈解决代数问题的一种思维方式

◇ 辽宁 金钟植(特级教师)

1 曲线“标准方程”的含义

从教28年以来,笔者一直关注一个基本问题:解析几何中经常提到的“标准方程”的含义是什么?到目前为止,能够自圆其说的理解是:曲线方程代数结构的特殊性能直接体现曲线决定性的几何特征的方程是曲线的标准方程.即从曲线方程的代数结构中能直接解读出曲线的决定性的几何特征.反之有了曲线决定性的几何特征就可确定曲线的标准方程.下面就各类曲线标准方程给出这种理解的解释.

1.1 5种曲线标准方程的解释

1)直线的标准方程.

2)圆的标准方程.

与教科书的说法相同.

3)椭圆的标准方程.

4)双曲线的标准方程.

5)抛物线标准方程.

1.2 标准方程和一般方程的内在联系与本质区别

1)一般方程与标准方程内在联系.

将标准方程化简即可得一般方程,将一般方程经过有目的性的代数变形(如配方、运用等式的性质等)即可得标准方程.

2)一般方程与标准方程本质区别.

一般方程是由标准方程化简得到,进而使原有的代数结构特征消失,所以比起标准方程,体现不出所有决定性的几何特征.但有些一般方程还能体现部分几何特征.如直线的一般方程中体现其法向量为n＝(A,B).

从以上“标准方程”的含义不难看出,按照笔者对几种曲线标准方程的解析,可以将解析几何中的标准方程系统地化归为一类:曲线方程代数……