刘 洋，胡贝贝



关于左三角范畴定义的一个等价条件

刘 洋，胡贝贝

本文给出了左三角范畴定义的一个等价条件，得出可以替代八面体公理的一个交换图。

左三角范畴；自函子；八面体公理

1 引言

Abel范畴是同调代数中的非常重要概念。在研究Abel范畴中可以通过“正合分析”产生许多代数和几何不变量。但是数学中有许多研究对象本身并不构成Abel范畴，那么就不能够用“正合分析”的方法来研究这样的范畴。上世纪60-70年代，Alexander Grothendieck和Jean Louis Verdier发明了三角范畴，三角范畴中的好三角刚好是Abel范畴中短正合列的替代物，从而“正合分析”在三角范畴中又可以发挥作用了。三角范畴的定义比较复杂，其中的八面体定理更是不好理解，文[1-3]研究了三角范畴的八面体定理相关等价条件。由Beligiannis和Marmaridis引入的单边三角范畴(即左或右三角范畴)是三角范畴的自然推广，本文给出了左三角范畴定义的一个等价条件。相关三角范畴的最新研究进展可以参见专著[4]。

并且Δ取左三角同构封闭。

(Lt3)如果下图是行为左三角的交换图(即行属于Δ的交换图)

则存在态射α:a1→b1，使得上图继续为交换图。

称如上的三元组(C,Ω,Δ)为左三角范畴，有时称为左三角范畴。

2 主要结论

注1 (Lt4)等价于下图的三角交换性：

即中间两行和右边两列均为左三角，并且各方块为交换图。

(Lt4)等价于下图的三角交换性：

中间两列和底边两行均为左三角，并且各方块均为交换图。

定理1 如果(C,Ω,Δ)是左三角范畴，其中Ω是忠实且满的自函子，则对任意C中交换图

可以扩充成下面的行列均为左三角的交换图：

证明 对C中交换图

由八面体公理，得如下三个交换图，其中底面两行和中间两列均为左三角：

将它们合起来，得如下图：

行列均为左三角，因此只须证明每个方块为交换图即可。

(1)是已知的交换图。

(2)图的交换性：由于g2k2=g2mγ=k1βγ=κ1g3，其中g3=βγ:c2→c1。

(4)图的交换性：由于f2l2=f2mα=l1δα=l1f3，其中f3=δα:a3→b3。

(5)图的交换性。由于k2l2=lmγl3=mαk3=l2k3。

最后，(3)(6)(9)(7)(8)由左三角的性质即得交换性。显然行列均为左三角的如下交换图可以替代八面体公理。

因为当g1=1，f2=f1g2时，l1=0，从而即为八面体公理。

[1] 王济荣.三角范畴中八面体公理的几个等价命题[J].四川大学学报(自然科学版). 2006(3).

[2] 胡彩霞,陈娟.三角范畴定义中八面体公理的等价命题及其应用[J].厦门大学学报(自然科学版). 2008(2).

[3] 许庆兵,王正萍,张孔生.关于三角范畴的八面体公理[J].数学研究.2013,46(1)：99.

[4] 章璞.三角范畴与导出范畴.科学出版社.

[5]BeligiannisA,MarmaridisN.LeftTriangulatedCategoriesArisingFromContravariantlyFiniteSubcategories[J].Comm.inAlgebra, 1994, 22(5):5021-5036.

[6] 许庆兵，张孔生.左三角范畴的商范畴与局部化[J] . 数学杂志,2013,33(6):1093-1100.

[7]BeligiannisA.HomologicalandHomotopicalaspectsofTorsionTheories[J].MemoirsoftheAmericanMathematicalSociety,2007(188):1-270.

[8]GelfandSI,ManinYuI.HomologicalAlgebra[M].NewYork:Springer,1994：86-102.

[9]NeemanA.TriangulatedCategories[M].PrincetonUniv.Press:Princeton, 2001:73-99.

[10] 许庆兵.关于范畴局部化的若干研究[D].福州：福建师范大学,2008.

责任编辑：刘海涛

One Equivalent Condition for The Definition of Left Triangulated Category

Liu Yang， Hu Beibei

In this paper, An equivalent condition for the definition of left triangulated category is given, then a commutative diagram is obtained which can be replaced the octahedral axiom.

left triangulated category; endofunctor; octahedral axiom

O154.1

A

1673-1794(2016)05-0028-03

刘洋，滁州学院数学与金融学院讲师，硕士，研究方向：代数表示论；胡贝贝，滁州学院数学与金融学院(安徽 滁州 239000)。基金项目：安徽省高校省级自然科学基金资助(KJ2016A545)；安徽省高校自然科学研究一般项目(KJ2015B12)；(KJ2015B02)

2016-06-14