☉江苏省苏州市第十中学 陈春明

善用最值另辟蹊径
——例谈函数最值的运用

☉江苏省苏州市第十中学 陈春明

最值是函数的一个重要性质，其运用很广泛，常常是求函数最值及利用最值解决恒成立问题等题型，本文介绍函数最值的几种应用，以飨读者.

一、善用最值巧解一类含参函数问题

给定含参函数的最值求参变量的值（取值范围），这一类题在近几年的高考中频频出现，常见的解法是先求出函数最值关于参变量的表达式，再求参变量的值，求解过程往往因需分类讨论而显得烦琐.

苏教版高中数学必修1给出的函数最值定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果实数m满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤m（f（x）≥m）；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=m.那么，我们称m是函数f（x）的最大值（最小值）.

根据函数最值定义，m是函数f（x）的最大值（最小值）等价于不等式f（x）≤m（f（x）≥m）恒成立且等号成立.教学中，若能灵活运用函数最值定义，可收到意想不到的效果.

例1已知函数f（x）=x2-2（t-1）x+4在区间［1，5］上的最小值为2，求t的值.

解析：根据题意，x2-2（t-1）x+4≥2对于任意的x∈［1，5］恒成立，且∃x0∈［1，5］使此不等式等号成立.

点评：本题的传统解法是对参数t分类讨论，即对抛物线f（x）的对称轴x=t-1分：t-1＜1，1≤t-1≤5，t-1＞5三种情况讨论求得f（x）的最小值h（t），然后由h（t）=2解得t的值.这里利用变量分离将参数t转化为函数g（x）的最值，避免了烦琐的分类讨论，解法简单明了.

二、善用最值证明不等式问题

函数与导数结合的不等式的证明一直是高考重点关注的对象，而且常以压轴题出现，因为其证法的灵活性、多变性、抽象性使……