张亚娟, 刘建成

(西北师范大学数学与统计学院, 兰州 730070)



局部对称空间中线性Weingarten超曲面

张亚娟, 刘建成*

(西北师范大学数学与统计学院, 兰州 730070)

研究了局部对称空间中具有有界平均曲率的可定向完备线性Weingarten超曲面的刚性分类. 在对超曲面的全脐张量Φ的模长进行适当限制下,应用广义极大值原理,得到了该类超曲面是全脐的或等距于一个具有2个不同主曲率的超曲面,且其中一个主曲率的重数为1.

线性Weingarten超曲面; 局部对称; δ-拼挤; 平均曲率

1 引言及主要结果

上述结论都是针对常数数量曲率超曲面而言的. 弱化这个条件的一种做法是考虑平均曲率H与标准数量曲率R满足线性关系R=aH+b的超曲面,其中a,b,并把这种超曲面称为线性Weingarten超曲面. 近几年许多文献对线性Weingarten超曲面进行了相关研究,参见文献[3-14],其中文献[3]证明了单位球面Sn+1(1)中具有非负截曲率的线性Weingarten超曲面Mn,如果满足(n-1)a2+4n(b-1)≥0,那么Mn要么是全脐的，要么等距于环面Sn-k(c1)×Sk(c2),其中1≤k≤n-1,c1,=1. 文献[12]研究了双曲空间Hn+1中的具有有界平均曲率的线性Weingarten超曲面Mn,通过对Mn的全脐张量Φ的模长进行恰当的限制,得到了该类超曲面的刚性分类结果.

本文将更一般地研究外围空间是局部对称δ-拼挤黎曼流形中线性Weingarten超曲面的性质,得到了如下定理.

取Nn+1为单位球面Sn+1(1),则δ=c0=1,于是有

推论1 设Mn是Sn+1(1)中可定向完备超曲面. 假定Mn的平均曲率H有界,且标准数量曲率R与其平均曲率H满足R=aH+b,a,b,a≤0,b>1. 如果

2 预备知识及引理

限制在超曲面Mn上时,有

用hijk、hijkl表示hij的一阶和二阶协变微分,则

hijk-hikj=-K(n+1)ijk,

(2)

12△S=12 ∑ >i,j △h2ij=∑ i,j,k h2ijk+∑ i,j hij△hij=∑ i,j,k h2ijk+

(4)

(5)

等号成立当且仅当至少有n-1个μi相等.

证明 根据式(1)有

(6)

注意到Nn+1是一个局部对称空间,对式(6)两边同时求协变微分,可得

因此

由Cauchy-Schwarz不等式得

(2n2H-n(n-1)a)2|H|2.

(7)

(2n2H-n(n-1)a)2-4n2S=

4n4H2+n2(n-1)2a2-4n3(n-1)aH-

4n4H2+n2(n-1)2a2-4n3(n-1)aH-

4n2(n(n-1)+n2H2-n(n-1)(aH+b))=

n2(n-1)2a2+4n3(n-1)(b-1)=

n2(n-1)((n-1)a2+4n(b-1))≥0.

(8)

结合式(7)、(8)可得

(9)

(10)

3 主要结果的证明

定理1的证明 由式(10)可得

(11)

△(n2H2-n(n-1)(aH+b))=

(12)

由式(4)、(11)、(12)可得

(13)

令μi=i-H,则. 由引理3可知H≠0,因此不妨设H>0. 由条件及引理1可得

(14)

(15)

nc0(n2H2-S)=-nc0|Φ|2.

(16)

所以由引理2及式(13)～(16)可得

2nδ|Φ|2-nc0|Φ|2=|Φ|2PH(|Φ|),

(17)

其中

因此

(18)

(nH)≥|Φ|2PH(|Φ|)≥0.

(19)

另一方面,由引理4可知,存在点列{pk}⊂Mn,使得

(20)

由式(1)可得

(21)

注意到定理1的条件a≤0,结合式(20)、(21)可得

(22)

结合式(19)、(20)、(22)可得

sup|Φ|2Psup H(sup|Φ|)≥0.于是有sup|Φ|2Psup H(sup|Φ|)=0,继而可知Φ0,Mn是全脐的,或. 如果存在点pMn,使得,则a≤0时H在p点也取得最大值. 由引理3可知,算子是椭圆算子,结合式(19),由Hopf极大值原理可以得到H在Mn上为常数. 因此在Mn上|Φ|于是式(5)等号成立,因此Mn等距于具有2个不同主曲率的超曲面,且其中1个主曲率的重数为1. 定理1证毕.

0=∫M(nH)*1≥∫M|Φ|2PH(|Φ|)*1.

(23)

[1]CHENGSY,YAUST.Hypersurfaceswithconstantscalarcurvature[J].MathematicscheAnnalen,1977,225(3):195-204.[2]SHUSC.Completehypersurfaceswithconstantscalarcurvatureinahyperbolicspace[J].BalkanJournalofGeometryandItsApplications,2007,12(2):107-115.

[3]LIHZ,SUHYJ,WEIGX.LinearWeingartenhypersurfacesinaunitsphere[J].BulletinoftheKoreanMathematicalSociety,2009,46(2): 321-329.

[4]SHUSC.LinearWeingartenhypersurfacesinarealspaceform[J].GlasgowMathematicalJournal,2010,52(3):635-648.

[5]LPEZR.RotationallinearWeingartensurfacesofhyperbolictype[J].IsraelJournalofMathematics,2008,167(1):283-301.

[6]BARROSA,SILVAJ,SOUSAP.RotationallinearWeingartensurfacesintotheEuclideansphere[J].IsraelJournalofMathematics,2012,192(2):819-830.

[7]YANGD.LinearWeingartenspacelikehypersurfacesinlocallysymmetricLorentzspace[J].BulletinoftheKoreanMathematicalSociety,2012,49(2):271-284.

[8]DELIMAHF,DELIMAJR.CompletelinearWeingartenspacelikehypersurfacesimmersedinalocallysymmetricLorentzspace[J].ResultsinMathematics,2013,63(3/4):865-876.

[9]AQUINOCP,DELIMAHF.OnthegeometryoflinearWeingartenhypersurfacesinthehyperbolicspace[J].MonatsheftefürMathematik,2013,171(3/4):259-268.

[10]AQUINOCP,DELIMAHF,VELSQUEZMAL.AnewcharacterizationofcompletelinearWeingartenhypersurfacesinrealspaceforms[J].PacificJournalofMathematics,2013,261(1):33-43.

[11]AQUINOCP,DELIMAHF,VELSQUEZMAL.Gene-ralizedmaximumprinciplesandthecharacterizationoflinearWeingartenhypersurfacesinspaceforms[J].MichiganMathematicalJournal,2014,63(1):27-40.[12]AQUINOCP,DELIMAHF,VELSQUEZMAL.LinearWeingartenhypersurfaceswithboundedmeancurvatureinthehyperbolicspace[J].GlasgowMathematicalJournal,2015,57(3):653-663.

[13]CHAOXL,WANGPJ.LinearWeingartenhypersurfacesinlocallysymmetricmanifolds[J].BalkanJournalofGeometryandItsApplications,2014,19(2):50-59.

[14]CHAOXL.LinearWeingartenhypersurfacesinaunitsphere[J].BulletinoftheIranianMathematicalSociety,2015,41(2):353-362.

[15]OKUMURAM.Hypersurfacesandapinchingproblemonthesecondfundamentaltensor[J].AmericanJournalofMathematics,1974,96(1):210.

【中文责编：庄晓琼 英文责编：肖菁】

Linear Weingarten Hypersurfaces in Locally Symmetric Manifolds

ZHANG Yajuan， LIU Jiancheng*

(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China)

The rigidity classifications for complete orientable linear Weingarten hypersurfaces with bounded mean curvature in locally symmetric manifold are studied. By supposing a suitable restriction on the norm of the totally umbilical tensorΦand using the generalized maximum principle, it is proved that such a hypersurface must be either totally umbilical or isometric to the hypersurface with two distinct principal curvatures, one of which is simple.

linear Weingarten hypersurfaces; locally symmetric;δ-pinching; mean curvature

2016-01-21 《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http://journal.scnu.edu.cn/n

国家自然科学基金项目(11261051)

O

A

*通讯作者:刘建成,教授,Email:liujc@nwnu.edu.cn.