◇陈 敏

基于“重点·难点·关键点”的教材比较研究
——以“三角形的面积”新授课为例

◇陈 敏

教师备课，主要是备重点、难点和关键点。这三“点”都可以在教材中找到线索甚至答案。下面以“三角形的面积”新授课为例，分享一次基于“重点·难点·关键点”的教材比较研究。研究使用的4套教材分别是：人教版《数学》（五年级上册）[1]、沪教版《数学》（五年级第一学期）[2]、浙教版《数学》（五年级上册）[3]，日本启林版《算数》（5 年下）[4]。

一 “三角形的面积”教学重点分析

新课改以来，在教学图形面积计算时，把通过探索获得面积计算公式当作重要环节，渗透转化的数学思想，已成为一种主流观念。但每次的转化教学分别要落实到什么程度，是否有不同的侧重点，则需要进一步思考。翻阅国内3套教材，其单元结构和课时安排类似，均以平行四边形——三角形——梯形为序，在“平行四边形的面积”一课中主要呈现的是从平行四边形到长方形的等积转化，而三角形的面积计算公式推导则强调通过“加倍”（即要构造一个全等图形来拼组）得到相应的平行四边形再比较计算，至于梯形面积计算公式的推导，则体现出算法多样化的取向，鼓励学生展开对图形的多元分析，在此基础上，殊途同归，得出一般算法。教材普遍这样编写，提示我们：这个单元各课的教学目标既相互呼应，又层层递进。对“三角形的面积”新授课来说，不仅要继续强调转化的思想，更要落实一种常用的转化方法——“加倍法”。因为“加倍法”（或称“镜像法”）是一种典型的化归方法，不仅对图形转化有用，解决其他数学问题时也会用到。

二 “三角形的面积”教学难点调查

前面已提及，把平行四边形转化成长方形时进行的是等积转化，而把三角形转化成平行四边形则需加倍。根据克莱门兹等人对图形构造能力层次的划分[5]，在前一次转化中，学生只是一个“堆砌者”，即根据平行四边形和长方形整体形状上的区别与联系实现转化，尤其是在平行四边形上作有高的情况下。（如图1）而在后一次转化中，学生需要达到“合同构图者”的水平，构造全等图形以达目的是有一定的预见性和创造性的。（如图2）学生能主动完成这样的转化吗？

图1

图2

（一）调查概况。

2011—2012年期间，笔者在杭州市上城区抽取不同类型学校五年级学生共计168名，对他们正式学习三角形面积计算前对公式的掌握情况，以及自主转化图形、探求公式的可能性进行调查。

调查安排在学生学习平行四边形面积之后。主要分成两部分：（1）书面测试，共3题。第1题考查对“面积”概念的理解，请学生涂色表示不同图形的面积指的是哪一部分；第2题要求作出三角形指定底边上的高；第3题请学生尝试求三角形的面积。测试完成后笔者当即阅卷，对部分答案比较典型的被试者进行访谈。（2）对参加测试的一个班计28名学生，除笔试外还进行了面试。面试时发给学生三角形纸片，要求他们把三角形转化成长方形或者平行四边形，并说明转化前后图形各部分之间的关系，时间为15分钟。

（二）主要结果。

1.以方格为背景有助于学生自主求得三角形面积，尤其是直角三角形。

（1）当使用的背景带方格时,学生解答的正确率统计如下:

这时，学生使用的方法主要有:①数方格，包括把不满1格的当成半格或者拼成整格；②直接应用公式；③与长方形联系；④与平行四边形联系。（如图3）

图3

（2）当使用的背景不带方格时,学生解答的正确率统计如下:

这时，学生使用的方法主要有:①转化成长方形；②转化成平行四边形；③直接应用公式。（如图4）

图4

2.超过一半的学生在课前已经知道三角形的面积计算公式，但主要停留在工具性理解水平。学生实际进行图形转化和公式推理的能力比较薄弱。

访谈22名笔试满分的学生，将近一半（45.5%）的人声明自己只是套用公式求得面积，对它是怎么来的并无思考。40.9%的人知道可以用两个全等的三角形拼成平行四边形以推导三角形的面积计算公式，但落实到操作层面，他们只能运用两个直角三角形拼成长方形，而不能运用两个锐角三角形或钝角三角形拼成平行四边形。只有2名学生能有效地借助拼图（画图）解释三角形面积计算公式的意义，其中1名是在课外辅导班中知道的，另1名则说是自己在现场想到的。

观察面试班级，有的学生把整个三角形沿方格线一格一格剪开后试图用“碎片”重拼一个长方形，有的反复折叠三角形的角却又说不出折叠的目的是什么，还有的同桌两人随意找了两个三角形（比如一个锐角三角形和一个钝角三角形）拼来拼去，不得要领。15分钟内，28名被试者完成情况如下表。

（三）调查结论。

加倍的思路，要求学生面对一个三角形的问题，想到去虚构另一个与之全等的三角形，使之既方便拼成规则图形，又方便在计算中能消去增加的部分，这是何等的精巧！只是多数学生都不具有这种想法。但长方形的面积计算深入人心，学生对求直角三角形的面积也有很好的直觉，是教学中可以利用的认知基础。

三 “三角形的面积”教学关键点设计

（一）浙教版教材的启示。

浙教版教材注意前期图形活动经验的积累。在早前的各册课本中可散见如下练习：（如图5）

图5

本单元正式开展平面图形的面积教学之前又设有一节准备课，其中第2题是梯形的加倍法，第3题是三角形的中位线转化法。（如图6）

图6

这些预设性的练习有助于教学“三角形的面积”时学生迸发出更多的联想和创意。

（二）日本启林版教材的启示。

日本启林版教材的单元结构与我国教材不同。三角形的面积教学先于平行四边形，且没有单独安排梯形面积的教学，练习中涉及了任意四边形（四角形）的求面积问题。（如图7）提倡将四边形分割为2个三角形来解决，一些特殊的图形，如梯形，也可以分割成1个三角形和1个平行四边形。

图7

由此可见，该教材是以三角形作为基本图形来贯穿平面图形面积计算的。这样的话，三角形的面积计算公式是怎么推导的呢？

教材编排分两步达成。首先，在单元主题图中简单处理了直角三角形的面积计算。教材呈现了一幅街道的平面图，其中有3块地已抽象成平面图形：足球场——长方形，公园——直角三角形，竞技场——有一个角是直角的四边形。（如图8）提出数学问题：这3块地的占地面积分别是多少？先求足球场即长方形的面积，这是已有的基础；再求公园即直角三角形的面积，容易想到直角三角形的面积是对应长方形面积的一半；最后试求竞技场的面积，通过两个孩子的对话提出把该四边形分割成一个直角三角形和一个锐角三角形，直角三角形的面积已经会求了，锐角三角形的面积该怎么求呢？

图8

教学锐角三角形的面积计算时，其主要思路是把锐角三角形的面积看成两个直角三角形的面积和。（如图9）接着，处理钝角三角形的面积计算，主要思路是把钝角三角形的面积看成两个直角三角形的面积差。（如图10）最后，统一归纳为：三角形面积=底×高×。

图9

图10

日本启林版教材的教学序列与前测中学生的思维表现较为吻合，值得一试。同时，可对教材作进一步开发，借助直角三角形这个特殊图形，引导学生完成“加倍”构想。

特别地，如果g(X)=ax+b,a≠0则对于的极值1，GMC(Y|X)⟺g(X)a.s.；若g是一对一的可测函数，则GMC(Y|X)=GMC(X|Y)=1，若g不是一对一的，则GMC(Y|X)=1>GMC(X|Y)≥0。

（三）关键点设计。

研究教材后，我们确定将研究直角三角形面积的活动作为突破“加倍法”的关键环节。主要过程是[6]：

1.师：每个人的信封中都有3个三角形，（如图11）看一看，想一想，你会求哪个三角形的面积？

图11

在学生尝试的基础上，反馈：谁会求1号三角形的面积？2号呢？3号呢？看来，会求2号三角形面积的同学最多。那我们就先来研究它。

2.指名汇报计算方法。

方法1：数。把不满一格的分别拼起来。（如图12）

图12

引导学生评价，改善：一格一格地拼太麻烦了，可以整体切拼。（如图13）

图13

方法2：在这个直角三角形的对面画一个和它一样的三角形。（如图14）

图14

得到的长方形面积是直角三角形的2倍。直角三角形的面积=两条直角边的积÷2。

师强调：（1）两条直角边相乘求的是什么？为什么要除以2？（2）方法1中那位同学的算法（如图13）为什么要除以2？

小结、板书：直角三角形的面积=两条直角边的积÷2。

3.现在再来看1号和3号三角形，你是否有办法算出它们的面积了呢？请同桌商量，各选1个尝试，等一会儿再相互交流。

（以下过程略）

意图说明：先研究直角三角形的原因是：（1）从前测看，学生容易自主探知直角三角形的面积计算方法。（2）将直角三角形转化成长方形的两种主要思路——中位线割补法和倍拼法可以直接被借鉴到锐角三角形和钝角三角形的研究中。（3）直角三角形又可以作为已知面积公式的基本图形，为后续研究服务，即可以把锐角三角形和钝角三角形分割成直角三角形来推导面积公式。（4）学生的图形活动的经验是逐步被启发、优化的，锐角三角形、钝角三角形与直角三角形分层做，给学生提供更多机会来感知、感悟和强化化归的各种具体方法。

教材是教师教学的主要依据。它本身承载着编写者对于教学“重点·难点·关键点”的理解和预期。仔细研读教材，研读不同的教材，必能为教学带来启发，达到事半功倍的效果。

[1]卢江，杨刚，等.义务教育教科书·数学·五年级上册[M].北京:人民教育出版社，2014：86-105.

[2]黄建弘，叶玮，等.九年义务教育课本·数学（试用本）·五年级第一学期[M].上海：上海教育出版社，2015：58-74.

[3]张天孝，朱乐平，等.九年义务教育小学实验教科书·数学[M].杭州：浙江教育出版社，2010.

[4]细川藤次，能田伸彦，等.算数·5 年下[M].新兴出版社启林馆，2002（平成14年）：2-14.

[5]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[6]陈敏.“三角形的面积”教学再尝试[J].小学教学（数学版），2012（9）：40-42.

（作者系朱乐平数学名师工作站 “一课研究”组成员，浙江省新思维教育科学研究院研究员）