磨削导轨表面的分形接触模型
2016-12-06缪小梅黄筱调
缪小梅,黄筱调
(1.无锡职业技术学院 机械技术学院，江苏 无锡 214000； 2.南京工业大学 机械与动力工程学院，南京 210009)
磨削导轨表面的分形接触模型
缪小梅,黄筱调
(1.无锡职业技术学院 机械技术学院，江苏 无锡 214000； 2.南京工业大学 机械与动力工程学院，南京 210009)
导轨是机床最重要的结合面之一，其接触特性对机床的性能具有极其重要的影响。磨削形成的导轨表面形貌具有明显的各向异性，现有的分形理论无法对其接触特性进行预测。通过对磨削导轨表面的微观形貌的测量，提取了表面的分形参数及微凸体的分布函数。基于分形理论、修正的分形微凸体模型(ME模型)以及圆柱微凸体的接触模型，建立了磨削导轨表面的分形接触模型，并对模型进行了数值仿真和实验研究。所建立的模型克服了MB中不现实的微凸体变形模式以及不适用于各向异性表面的缺陷。结果表明，磨削表面接触载荷和接触面积呈近似的线性关系，表面的刚度随着干涉量的增加而增加。
磨削导轨；分形接触模型；各向异性
0 引言
导轨是机床最重要的结合面之一，是整台机床的装配基础，也是机床工作精度的基础。滑动导轨是最广泛使用的导轨形式之一。滑动导轨表面接触问题的研究从本质上讲是粗糙表面间接触特性的研究。粗糙表面接触问题一直是摩擦学的主要课题之一。粗糙表面的接触特性对于摩擦学的很多现象如摩擦，磨损，热传递，接触电阻以及接触刚度和阻尼都有着极其重要的影响[1-3]。
现代测量技术表明大部分的工程表面形貌具有非稳定的随机特性，即分形特性。自从1991年，Majumdar[4]提出了以分形几何为基础的接触模型(MB模型)以来，很多研究者致力于相关的研究，在理论或是工程实践方面都获得了很多成果。Ciavarella等[5]在此模型的基础上研究粗糙表面的接触刚度和接触电阻。Bora等[6]应用这一方法研究了硅微电子系统的多尺度微凸体几何学。Panagouli和Yin[7-8]等研究了分形表面的摩擦和磨损。Liou和Lin等[9-10]研究了分形维度可变的分形接触模型。Tsai和Liou等[11-12]将分形模型应用到了非名义平表面的接触研究中。Zahouani等[13]将分形模型用于结合面的粘着接触研究中。Horng等[14]则研究了分形表面硬化层的摩擦特性，在他们所建立的模型中，微凸体是椭球形的而不是半球形的。Yoo等[15]基于MB模型研究了粗糙表面的电阻抗特性。Abuzeid等[16]研究了分形表面的热蠕变性能。然而，这方面的研究大多以MB模型为基础，主要倾向于各向同性表面的接触特性研究。对于磨削加工而成的金属导轨而言，磨削所产生的表面存在肉眼可见的各向异性，表面呈现出明显的垂直于主方向的条状的波纹，而在平行于主方向的轮廓几乎是光滑的，显然采用各向同性的理论对磨削导轨表面接触特性进行建模是不合理的。
本文对各向异性的磨削表面接触模型进行了研究。从磨削导轨表面的形貌测量出发，分析磨削表面形貌分形特性，对磨削表面的分形参数及微凸体的分布进行了测量和提取。基于圆柱体的接触特性[17]、修正的微凸体分形模型(ME模型)[18]以及分形接触理论对磨削表面的接触特性进行建模及仿真。最后对磨削表面试验块的接触特性进行了实验研究。本文将传统的分形理论拓展到了各向异性表面的领域，为预测导轨的接触特性奠定了理论基础，具有明确的理论和现实意义。
1 磨削表面的形貌特征及测量
图1 粗糙度轮廓
图2 功率谱函数与ω在对数坐标系上的关系曲线
斜率k截距b分形维度D分形粗糙度系数G1．881-4．24271．564．68×10-5mm
在MB模型中，当粗糙表面与刚性平面接触时，假设粗糙表面的接触点面积分布规律与海洋面岛屿面积的分布规律相似，分布密度是与最大接触点相关的幂函数。然而对于各向异性的磨削表面而言，没有现成的函数可以采用。由于表面接触点的实际接触面积很难测量，这里对未变形微凸体在不同干涉量下的截断长度进行了测量，并对其分布规律进行了统计，如图4所示。其中横坐标n为尺度参数， 表示截断长度的范围为1/rn+1
单位长度(1cm)内微凸体的总个数约为33个
2 磨削表面的分形接触模型
2．1 微凸体的分形接触模型
导轨表面存在肉眼可见的各向异性，此时将表面的微凸体近似为半球显然是不合适的，而应该将微凸体看成抛物面(接触点为椭圆形)或者圆柱体(接触点为长方形)。抛物面微凸体适用于任何的表面微凸体，但是椭球的接触计算相对比较复杂。磨削表面具有明显的条状的波纹，适合采用圆柱形来对表面的微凸体进行模拟。文献[17]中对圆柱微凸体的接触特性进行了分析。Morag[18]等对传统分形模型中微凸体模型进行了修正。在此基础上，下面对圆柱微凸体的分形接触模型进行推导。
磨削的表面轮廓线在垂直于主方向上具有明显的分形特性，假设分形维度为D，分形粗糙度系数为G。根据分形理论和MB模型，若忽略更小尺度上的细节，在未变形前，任意一个圆柱微凸体在径向上的轮廓高度可以由WM函数给出：
(1)
式中， l——微凸体的尺度；
z(x)——微凸体的轮廓高度；
x——微凸体的横向坐标。
微凸体的大小通过指标n来表征：
ln=1/rn
(2)
微凸体峰顶附近的曲率半径为：
(3)
式中，Rn—尺度为n的微凸体的接触半径。
根据Green[19]对圆柱微凸体弹性接触的理论研究及公式3，微凸体的弹性临界干涉量和弹性临界接触长度为：
(4)
(5)
式中， χecn—尺度为n的微凸体的弹性临界接触长度；
δecn—尺度为n的微凸体的弹性临界干涉量；
σs—材料的屈服强度；
E—材料的弹性模量。
根据有限元计算的结果[17]，塑性临界干涉量为弹性临界干涉量的20倍，塑性临界接触长度约为弹性临界接触长度的8.8倍。
(6)
(7)
式中， χpcn—尺度为n的微凸体的塑性临界接触长度(对圆柱微凸体而言，即为单位长度上的接触面积)；
δpcn—尺度为n的微凸体的塑性临界干涉量。
当χ<χec时，微凸体为弹性变形，χec<χ<χpc时微凸体为弹塑性变形，χ>χpc时微凸体为完全塑性变形。随着接触载荷和接触面积的增加，微凸体的变形模式从弹性向弹塑性转化，最终达到完全塑性变形。这与经典接触力学一致，而与MB模型相反。值得注意的是，对于本章所研究的表面，已知的截断长度的分布，而不是接触长度的分布，而在确定的尺度内截断长度与干涉量是一一对应的。
(8)
式中， δ——微凸体的干涉量；
lt——微凸体的截断长度；
lt——微凸体的截断长度。
弹性变形时，圆柱形微凸体的接触载荷和接触面积与干涉量的关系可赫兹理论得到。塑性变形时微凸体的接触载荷和接触面积与干涉量和截断面积的关系可以由AF模型给出。弹塑性变形时微凸体的接触载荷和接触面积与截断长度的关系可以由文献[9]中的有限元计算结果给出。这里简记为：
(9)
(10)
2.2 接触面积和接触载荷
假设尺度指数n的取值范围为nmin(对应最大微凸体)到nmax(对应最小微凸体)。nmax取决于表面轮廓线测量的分辨率， nmin和被测表面的取样长度以及表面所受的载荷有关。
在任意尺度内，微凸体干涉量的变化范围为:
δminn<δ<δmaxn
(11)
(12)
(13)
由于在任意尺度内，微凸体的变形模式都是从弹性向塑形过渡的。因此任意尺度内微凸体变形模式取决于δminn、δmaxn与δecn、δpcn的大小关系。如图4所示，有6种情况。
图4 微凸体的变形模式
①尺度内微凸体全部发生弹性变形，该尺度中总的接触载荷和接触长度可以通过对该尺度内所有的微凸体的弹性接触载荷和接触面积积分得到，其中单个微凸体的接触载荷和接触面积可以由公式(9)和(10)得到。因此，变形模式属于情况Ⅰ的尺度内的总的接触载荷和接触面积为：
(14)
(15)
式中， Fen——尺度n内，发生弹性接触的微凸体的总的接触载荷；
Λen——尺度n内，发生弹性接触的微凸体的总的接触长度；
ltminn——尺度n内最小接触点的截断长度，ltminn=ln；
ltmaxn——尺度n内最小接触点的截断长度，ltminn=ln+1；
②微凸体全部发生塑性变形，该尺度中总的接触载荷和接触长度可以通过对该尺度内所有微凸体的塑性接触载荷和接触面积积分得到，其中单个微凸体的接触载荷和接触面积可以由公式(9)和(10)得到。因此，变形模式属于情况Ⅰ的尺度内的总的接触载荷和接触面积为：
(16)
(17)
式中， Fpn——尺度n内，发生塑性接触的微凸体的总的接触载荷；
Λpn——尺度n内，发生塑性接触的微凸体的总的接触长度。
③微凸体的变形模式有三种，干涉量δminn<δ<δecn(截断长度ltminn (18) (19) 式中， Fepn——尺度n内，发生弹塑性接触的微凸体的总的接触载荷； Λepn——尺度n内，发生弹塑性接触的微凸体的总的接触长度； ④微凸体的变形模式有两种：干涉量δminn<δ<δpcn(截断长度ltminn (20) (21) ⑤微凸体变形模式有两种：干涉量δminn<δ<δpcn(截断长度ltminn (22) (23) ⑥微凸体全部发生弹塑性变形，该尺度中总的接触载荷和接触长度可以通过对该尺度内所有微凸体的弹塑性接触载荷和接触面积积分得到； (24) (25) 结合面的总的接触载荷和接触面积通过对所有尺度内的接触面积和接触长度求和得到： (26) (27) 式中，F——结合面总的接触载荷 Λ——结合面总的接触长度。 这样，我们就建立了磨削表面接触载荷和接触面积与干涉量之间的关系。这里计算的接触载荷和接触长度指的是结合面的宽度为单位长度时的值。结合面总接触载荷和接触面积只需将上述的接触载荷和接触长度乘以结合面的宽度即可。 研究两个45号钢磨削导轨表面接触时的特性，将两个表面的接触等效为一个弹塑性粗糙面与一个刚性平表面的接触。等效后的材料参数如表2所示。在本文中导轨实验块表面的取样长度为2.5mm，分辨率为5×10-4mm，微凸体可能的尺度范围为-3≤n≤18。 表2 仿真参数 实验验证采用如图5所示的微机控制电子万能试验机和Microtrak 3型激光位移传感器对磨削导轨试验块的干涉量和接触载荷进行测量，实验系统的结构框图如图6所示。 图5 试验仪器 图6 实验系统结构框图 图7是数值仿真得到的接触面积和干涉量的关系曲线，随着干涉量的增加，接触面积非线性增加，且增加的速度越来越快。图8是数值仿真得到的接触载荷和接触面积的关系曲线，由图中可以看出，接触载荷和接触面积呈近似的线性关系，这一结论和传统的统计模型以及各向同性表面的分形接触模型是类似的。 图9是试验数据和模型仿真数据的比较(接触载荷和干涉量的曲线)，接触载荷随着干涉量的增加而迅速增加，曲线的斜率越来越大，即随着干涉量的增加，表面的刚度越来越大，这与我们工程实践中得到的经验是相符的。由图中可以看出，数值仿真和实验得到的数据趋势基本相同的，在确定的载荷下，实验所测量的干涉量略大于数值计算所得的值，这意味着实际测量到的表面的刚度要比模型预测略小。产生这一原因的可能性很多，可能是由于干涉量的值很小，测量中不可避免的存在误差；模型对表面进行了一些等效和近似也不可避免的引入一些误差，此外实际的表面还存在一些缺陷(碰撞产生的凹点等)。值得注意的是，本文所研究是比较理想化的导轨表面，比如忽略了导轨的结构和加工所带来的宏观尺寸误差以及导轨的磨损、冷作硬化、润滑等因素。 图7 接触载荷和干涉量的关系曲线 图8 加载时接触载荷和接触面积的关系曲线 图9 接触载荷和干涉量的关系曲线 (1)测量了磨削导轨表面的微观形貌，验证了磨削表面的分形特性，提取了表面的分形特性；根据测量磨削导轨微观形貌数据，提取了表面微凸体的离散分布函数。 (2)基于分形理论、ME模型以及圆柱微凸体接触模型，建立磨削导轨表面的分形接触模型；模型中，随着接触载荷和接触面积的增加，微凸体的变形模式从弹性向弹塑性转化，最终达到完全塑性变形，克服了MB模型中微凸体变形模式与统计模型及实验不符的缺陷； (3)接触载荷和接触面积呈近似的线性关系，这一结论和传统的统计模型以及各向同性表面的分形接触模型是相同的。接触载荷随着干涉的增加而快速增加，即表面的刚度随着干涉量的增加而增加。 (4)实验结果和数值仿真结果趋势基本是一致的，在确定的载荷下，实验所测量的干涉量略大于数值计算所得的值，在干涉量较小时误差较大。 [1] Liou J L, Lin J F. 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Meeh., 2005, 10(3): 451-462. (编辑 李秀敏) Fractal Contact Model of Ground Guide Surface MIAO Xiao-mei1, HUANG Xiao-diao2 (1.College of Mechanical Technology,Wuxi Institute of Technology,Wuxi Jiangsu 214000,China;2.School of Mechanical and Power Engineering,Nanjing University of Technology,Nanjing 210009,China) Guide is one of the most important interface of the machine tools. The contact characteristic of guide has extremely important influence on the performance of the machine tool.The surface morphology of grinding guide is obviously anisotropic. The contact characteristics of guide can not be forecast through the existing fractal theory. Based on surface topography measurement of grinding guide , the fractal parameters and distribution of asperities were identified. Based on the fractal theory, modified fractal model of asperities and contact mode of cylinder, the fractal contact mode of grinding surface was established and a numerical simulation is conducted. At last, experimental validation of the model is undergone. The model overcame the shortcomings of the MB, namely the unpractical contact mode transition and the non-applicability at special condition of anisotropic surface. The results revealed that the contact area depended linearly on the contact load and that the contact stiffness increased with increasing contact load. ground guide;fractal contact model;anisotropy 1001-2265(2016)11-0041-05 10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.11.012 2015-12-04； 2016-02-24 国家自然科学基金资助项目(51175242)；江苏省品牌专业建设工程资助项目(PPZY2015A086) 缪小梅(1986—)，女，江苏泰州人，无锡职业技术学院讲师，工学博士，研究方向为结合面的接触特性及精度衰减研究，(E-mail)18101517860@163.com;黄筱调(1952—)，男，安徽安庆人，南京工业大学教授，博士生导师，研究方向为工业装备数字化制造及控制技术，(E-mail)njgdhxd@189.com。 TH113.1；TG506 A
3 数值仿真及实验验证
4 结论
