金启胜

(安庆职业技术学院，安徽安庆 246003)



一类拟线性方程初值问题的可解性

金启胜

(安庆职业技术学院，安徽安庆 246003)

本文通过一类拟线性方程的特征曲线和积分曲面之间的关系，研究了一类拟线性方程初值问题的可解性，并给出实例验证了结论的正确性。

特征曲线；积分曲面；初值问题

1 前言

考察一阶拟线性方程

a(x,y,u)ux+b(x,y,u)uy=c(x,y,u).

(1)

其中，u=u(x,y).称方向(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))是方程(1)的特征方向，处处与特征方向相切的曲线是方程(1)的特征曲线.设特征曲线的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t)，则沿着特征曲线有

即

(2)

称(2)为方程(1)的特征方程.显然，处处与特征方向相切的曲面z=u(x,y)是方程(1)的积分曲面，积分曲面z=u(x,y)是方程(1)的解.

下面讨论方程(1)的初值问题.设有空间曲线Γ∶(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))，s为参数.方程(1)的初值问题就是求方程(1)的解z=u(x,y)，使之满足h(s)≡u(f(s),g(s))，即积分曲面过已知曲线Γ.在许多情况下，x表示空间变量，y表示时间变量，所以就有y=0时刻的初值问题u(x,0)=h(s)，空间曲线Γ的参数方程为x=s,y=0,z=h(x).

2 主要结论及证明

定理1

若特征曲线γ上一点P(x0,y0,z0)位于积分曲面S∶z=u(x,y)上，则γ整个位于S上.

证明 设γ的方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t)，由特征曲线定义可知，它是方程组(2)的解，并且对某参数t=t0满足x0=x(t0),y0=y(t0)，z0=z(t0)=u(x0,y0).

(3)

其中，x=x(t),y=y(t).因为z=u(x,y)是(1)的解，所以U=0是(3)的解.根据常微分方程初值问题解的唯一性定理，由U(t0)=0知U(t)≡0，即z(t)≡u(x(t),y(t))，所以γ∈S.

根据定理1可知，特征曲线完全位于积分曲面内，积分曲面S是特征曲线γ的并，即过S上每一点都有一条包含在S中的特征曲线；反之，如果曲面S∶z=u(x,y)是特征曲线的并，则该曲面必是积分曲面.根据定理1还可得到，两个有公共点P的积分曲面必沿着一条过点P的特征曲线γ相交；……