程生敏

（郑州工业应用技术学院基础教学部 河南郑州 451100）

实对称矩阵的合同

程生敏

（郑州工业应用技术学院基础教学部 河南郑州 451100）

关于实对称矩阵的研究有极其广泛的内容，本文主要探讨了实对称矩阵的合同标准形、规范标准形和实对称矩阵的应用等。

实对称矩阵 合同变换 合同标准形

一、预备知识

定义：在数域P中，n n×矩阵A，B称为合同的，若有可逆的n n×矩阵C，使'BC AC=。

二、实对称矩阵的合同标准形、规范标准形等问题

定理1 在数域P上，任意一个实对称矩阵都合同于一对角矩阵，且任一实对称矩阵都合同于一个右边形式的对角矩阵：

其中对角线上1的个数p及-1的个数rp-（r是A的秩）都是唯一确定的，分别称为A的正、负惯性指数.它们的差2pr-称为A的符号差。

证明：我们对变量的个数n作归纳法。

分四种情形来讨论：

（1） aii（ i=1，2，...，n）中至少有一个不为零，例如a11≠0.取替换

于是A和C1可写成分块矩阵，

这里'α为α的转置，1nE-为1n-级单位矩阵.这样

这是一个对角矩阵.我们所要的可逆矩阵就是C=C1C2.

（2） a11=0但有一个aii≠0.

这时只要把A的第一行与第i行互换，再把第一列与i列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取

显然P（1，i）'=P（1，i），矩阵就是把A的第一行与第i行互换，再把第一列与第i列互换的结果，因此，C1'AC左上角第一个元素就是aii，这样就归结到第一种情形。

（3） aii=0，i=1，…，n ，但有一a1j≠0，j≠0.

与上一种情形类似，作合同变换P（2，j）'AP（2，j），可以把a1j搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情况.与那里的变数替换相对应，取C1=，于是的左上角……