蔡勇全

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）.

A.1B.3C.5D.9

2.已知i是虚数单位，若（2-i）·z=i3，则z=（ ）.

A.15-25iB.-25+15i

C.-25-15iD.15+25i

3.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）.

A.对任意x∈R，都有x2<0

B.不存在x∈R，都有x2<0

C.存在x0∈R，使得x20≥0

D.存在x0∈R，使得x20<0

4.某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（ ）.

A.6B.4C.3D.2

5.下列函数中是奇函数且周期是π的是

（ ）.

A.y=2cos（2x+π2）

B.y=2cos（x+π2）

C.y=2sin（2x+π2）

D.y=2sin（2x+π2）

6.如图1所示，在下列四个几何体中，其三视图中有且仅有两个相同的是（ ）.

A.②③④B.①②③图2

C.①③④ D.①②④

7.从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列，这样的五位数的个数是（ ）.

A.180B.360

C.480D.720

8.某算法的程序框图如图2所示，则输出S的值是（ ）.

A.6B.24

C.120D.840

9.已知点P在抛物线x2=4y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为1∶3，则点P到x轴的距离是（ ）.

A.14B.12

C.1D.2

10.设偶函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3.又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在区间

[-12，32]上的零点个数为（ ）.

A.5B.6C.7D.8

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.二项式（2x3-12x2）5的展开式的常数项是.

12.在平面直角坐标系中，若点A（1，1），B（2，4），C（-1，3），则|AB-AC|= .

13.设函数f（x）=21-x，1-log2x，x≤1，x>1，则f（x）≤2时x的取值范围是 .

14.已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线与圆x2+y2-4x+2=0有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是 .

15.设满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤

1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2（其中[x]、[y]分别表示不大于x、y的最大整数，例如[-0.3]=-1，[1.2]=1 ），给出下列结论：

①点（S1，S2）在直线y=x左上方的区域内；

②点（S1，S2）在直线x+y=7左下方的区域内；

③S1

④S1>S2.

其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）已知函数f（x）=sin（2x+π6）+cos（2x-π3）.

（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，c=23，sinA=2sinB，求△ABC的面积.

17.（本小题满分12分）在数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）2.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=an2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围.

18.（本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”.为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计.按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（图3），并做出样本分数的茎叶图（图4）（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）.

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.

19.（本小题满分12分）如图5所示，直三棱柱ABC-A1B1C1

中，AB=BB1=12BC，∠ABC=90°，N、F分别为A1C1、B1C1的中点.

（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；

（Ⅱ）求二面角B-NC-A的余弦值.

20.（本小题满分13分）已知点F1（-1，0），F2（1，0），动点G满足|GF1|+|GF2|=22.

（Ⅰ）求动点G的轨迹Ω的方程；

（Ⅱ）已知过点F2且与x轴不垂直的直线l交（Ⅰ）中的轨迹Ω于P、Q两点.在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分14分）已知函数f（x）=kex-x2（其中k∈R，e是自然对数的底数） .

（Ⅰ）若k<0，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；

（Ⅱ）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；

（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1

参考答案

一、C A D C AA D C B B

二、11.-512.1013.[0，+∞）14.（1，2]15.①③

三、

16. 解（Ⅰ）由已知，得f（x）=sin（2x+π6）+cos（2x-π3）=32sin2x+12cos2x+12cos2x+32sin2x=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6）.当2x+π6=2kπ+π2，即x=kπ+π6（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值2.

（Ⅱ）由f（C）=2sin（2C+π6）=1得sin（2C+π6）=12，因为π6<2C+π6<2π+π6，所以2C+π6=5π6，解得C=π3.因为sinA=2sinB，根据正弦定理，得a=2b，由余弦定理，有c2=a2+b2-2abcosC，（23）2=4b2+b2-2×2b2cosπ3，解得b=2，a=4，故△ABC的面积S△ABC=12absinC=12×4×2×sinπ3=23.

17. 解（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）2-（n-1）n2=n，经验证，a1=1满足上式，故数列{an}的通项公式an=n.

（Ⅱ）由题意，易得Tn=12+222+323+…+n2n，则12Tn=122+223+324+…+n2n+1，两式相减，得Tn-12Tn=

12+122+123+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1，所以Tn=2-n+22n.由于Tn+1-Tn=n+12n+1>0，则Tn单调递增，故Tn≥T1=12，又Tn=2-n+22n<2，故Tn的取值范围是[12，2）.

18. 解（Ⅰ）由题意可知，样本容量n=

80.016×10=50，y=250×10=0.004，x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100]有2人，共7人.抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ=1）=C15C22C37=535=17，P（ξ=2）=C25C12C37=2035=47，P（ξ=3）=C35C37=1035=27，所以ξ的分布列如下：

ξ123

p174727

故ξ的数学期望为

Eξ=1×17+2×47+3×27=157.

19. 解解法一

（Ⅰ）直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥AB，BC⊥AB，B1B∩BC=B，所以AB⊥平面BB1C1C.又N、F分别为A1C1、B1C1的中点，所以AB∥A1B1∥NF，NF⊥平面BB1C1C.又因FC平面BB1C1C，所以NF⊥FC.取BC中点G，有BG=GF=GC，所以BF⊥FC，又NF∩FB=F，所以CF⊥平面NFB.

（Ⅱ）由题意，平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC.过点B做BH⊥AC于H，则BH⊥平面ACC1A1，所以BH⊥NC.过H做HE⊥NC于E，连结BE，所以NC⊥平面BEH，NC⊥BE，则∠BEH是二面角B-NC-A的平面角.

在Rt△ABC中，BH×AC=AB×BC.不妨设AB=a，则BH=AB×BCAC=255a.

因为BF=CF，所以在△BNC中，NC=BN=32a，BE×CN=BC×NG.又因为在Rt△BNG中，NG=52a，所以BE=BC×NGCN=253a，故在Rt△BEH中，sin∠BEH=BHBE=35，则cos∠BEH=45，二面角B-NC-A的平面角的余弦值为45.

解法二

（Ⅰ）以B1为坐标原点，B1B，B1C1，B1A1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

不妨设AB=a，则B1（0，0，0），B（a，0，0），F（0，a，0），A1（0，0，a），C1（0，2a，0），N（0，a，a2），C（a，2a，0），则BF=（-a，a，0），FN=（0，0，a2），CF=（-a，-a，0），CF·BF=a2-a2=0，

CF·FN=0×

（-a）+0×（-a）+0×a2=0，所以CF⊥BF，CF⊥FN，又BF∩FN=F，所以CF⊥平面NFB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得CC1=（-a，0，0），A1C1=（0，2a，-a），BC=（0，2a，0），BN=（-a，a，a2），

设平面ACC1A1的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），则有n1·CC1=0与n1·A1C1=0，

即-ax1=0与2ay1-az1=0，取y1=1，z1=2，

则n1=（0，1，2）.设平面BNC的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），则有n2·BC=0与n2·BN=0，即2ay2=0与-ax2+ay2+a2z2=0，取x2=1，z2=2，则

n2=（1，0，2）.设二面

角B-NC-A的平面角大小为θ，则由n1·n2=|n1||n2|cosθ得二面角B-NC-A的平面角的余弦值为45.

20. 解（Ⅰ）由|GF1|+|GF2|=22，且

|F1F2|<22知，动点G的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆，设椭圆的标准方程为

x2a2+y2b2=1（a>b>0），c=a2-b2， 由题知，c=1，a=2，则b2=a2-c2=2-1=1，故动点G的轨迹Ω的方程是x22+y2=1.

（Ⅱ）假设在线段OF2上存在M（m，0）（0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2，MP=（x1-m，y1），MQ=（x2-m，y2），PQ=（x2-x1，y2-y1），其中x2-x1≠0.由于以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，所以（MP+MQ）⊥PQ，则有（MP+MQ）·PQ=0，从而有（x2+x1-2m，y2+y1）·（x2-x1，y2-y1）=0，所以（x2+x1-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，又因y=k（x-1），则有y2-y1=k（x2-x1），y2+y1=k（x1+x2-2），故上述式子可以变形为（x1+x2-2m）+k2（x1+x2-2）=0，将x1+x2=4k21+2k2代入上式，可以得到（4k21+2k2-2m）+k2（4k21+2k2-2）=0，即2k2-（2+4k2）m=0，所以m=k21+2k2（k≠0），可知0

（0，12）.

21. 解（Ⅰ）由f ′（x）=kex-2x可知，当k<0时，由于x∈（0，+∞），f ′（x）=kex-2x<0，故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数.

（Ⅱ）当k=2时，f（x）=2ex-x2，则f ′（x）=2ex-2x，令h（x）=2ex-2x，h′（x）=2ex-2，由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2ex-2>0，于是h（x）=2ex-2x在区间（0，+∞）上为增函数，所以h（x）=2ex-2x>h（0）=2>0，即f ′（x）=2ex-2x>0在区间（0，+∞）上恒成立，从而f（x）=2ex-x2在区间（0，+∞）上为增函数，故f（x）=2ex-x2>f（0）=2.

（Ⅲ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f ′（x）=kex-2x=0 的两个根，即方程k=2xex有两个根，设φ（x）=2xex，则φ′（x）=2-2xex，当x<0时，φ′（x）>0，函数φ（x）单调递增且φ（x）<0；当00，函数φ（x）单调递增且φ（x）>0；当x>1时，φ′（x）<0，函数φ（x）单调递减且φ（x）>0.要使方程k=2xex有两个根，只需0

（收稿日期：2015-12-12）