李　杰　刘兆鹏　费时龙　苏　婷

（宿州学院数学与统计学院　安徽宿州　234000）

非线性规划约束问题求解方法及其应用

李杰刘兆鹏费时龙苏婷

（宿州学院数学与统计学院安徽宿州234000）

非线性规划于20世纪50年代形成，近几十年里迅速发展，已经在经济、军事及工程等领域有着广泛的应用。文章一方面，简要介绍了非线性规划的概念及非线性规划的模型相关概念；另一方面，研究了非线性规划约束极值问题常见的求解方法Lagrange乘数法与可行方向法具体的运算方法与步骤，并通过具体的实例阐述论证。

非线性规划；模型；方法；极值

一、非线性规划的数学模型

如果目标函数[1]或者约束条件中含有非线性函数则称为非线性规划问题，非线性规划的数学模型[2]如下：

其中：x=(x1,x2,x3,……xn）是一个n维向量。

由于hk(x)=0等价于：

若把可行解区域[3]记为：Ω={x|gi(x)≥0,i=1,2,……m}则非线性规划[4]问题又简记为：minz=f(x),x∈Ω

Ω={x|gi(x)≥0,i=1,2,……m}与z=f(x)分别为非线性规划问题的可行解集和目标函数。非线性规划约束极值问题的一般定义为：

函数f(x)或g(x)至少有一个非线性的，f(x)与g(x)是连续且可微函数。

二、非线性规划约束极值求解方法及其应用

（一）Lagrange乘数法。当z=f(x,y)与φ(x，y)都可微，且φy(x0，y0)≠0知：在(x0,y0)处，φ(x，y)=0确定了唯一的单值函数y= φ(x)，

将λ带入上式，得：fx(x0,y0)+λΦx(x0，y0)=0

则在φ(x,y)=0的前提条件下，目标函数[5]z=f(x,y)在点(x0, y0)有极值的必要条件为x0,y0,λ满足方程组：

或者记为：F(x,y,λ)=f(x,y)+λφy(x,y)（λ为Lagrange乘数）

n元函数的极值问题为：Min（或Max） f(x)

它的Lagrange函数[6]为：

例1用Lagrange乘数法求解下述问题

解：令F(x,y,λ)=x+y+λ(x2+y2-1)，x,y,λ满足方程组

（二）可行方向法。若x(k)是非线性规划{minf(x);gi(x)≥0, i=1,2，……，l}的一个可行解，并且不是极小点。为了求它的极小点或近似极小点，要在x(k)点的可行下降方向选取一方向D(k)及确定步长λk，使（R代表可行域）且f(x(k+1))＜f(x(k))，当满足精度要求时，终止迭代，得到的点x(k+1)就是所求的极小点；