刘天有

数形结合是在数学解题过程中的一种重要解题思想，它是根据数与形之间的对应关系，通过数和形的相互转化解决数学问题的.数形结合的实质是将较抽象的数学语言和直观的图象结合起来，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，其应用包括两个方面：（1）把某些抽象的数学问题直观化、形象化，揭示数学问题的本质；（2）把直观图形数量化，使其更加精确.现整理如下题型供大家体会：

题型一：数形结合解决方程的根的个数问题

例1.对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab，a≤bb2-ab，a>b设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1，x2，x3的取值范围是________.

题型分析：本题属于新定义题型，需先写出f（x）的解析式，然后将方程f（x）=m的根的个数转化为求函数y=f（x）图象与直线y=m交点的个数.

解析：由定义知f（x）=2x2-x，x≤0-x2+x，x>0

解：因为a>0，所以二次函数f（x）的图象开口向上.

又f（0）=-1，所以要使函数f（x）的一个零点在区间（1，2）内，则有a>bf（1）<0f（2）>0，即如图2所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子表示平面区域内的点P（a，b）与点Q（-1，0）连线的斜率.

而直线QA的斜率k=1，直线4a+2b-1=0的斜率为-2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P，Q连线的斜率的取值范围为（-2，1），故选D.

反思：如果等式、代数式的结构蕴含明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法解题，即所谓的几何法求解.

题型三 数形结合解几何问题

例3.如图3，已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）

题型分析：本题可以结……