马龙 马红权 陈书文 叶婷婷

摘 要：伯格斯方程（Burgers equation）是一个具有重要物理意义的数学模型。结合算例比较了基于不同径向基函数（Matern和MQ）的局部特别解方法和Local Kansa method，分析了它们的计算误差和优劣。

关键词：Burgers方程；径向基函数；局部近似特别解方法

一、引言

对很多物理问题来说，伯格斯方程（Burgers equation）是一个非常有用的数学模型，比如激波、浅水波问题和交通流动力学问题等。而且，由于伯格斯方程是比较少的可以得到精确解的一类非线性偏微分方程，它又常被用来检验数值方法的好坏优劣，这也使得伯格斯方程在计算机时代具有了重要的应用价值。近年来，无网格方法求解伯格斯方程逐渐受到重视，它既不需要进行网格划分，又可以有效提高计算的精度。其中，基于径向基函数（Radial Basis Function， RBFs）的无网格方法具有形式简单和各向同性等诸多优点，并且具有较强的比较能力，在数学上得到了大量研究和成功运用。本文结合算例比较了基于不同径向基函数（Matern和MQ）的局部近似特别解（LMAPS）方法以及Local Kansa method，在求解伯格斯方程近似解的可行性。

二、算例

考虑到分别用基于matern径向基函数的LMAPS和基于MQ函数的LMAPS方法来求解方程（1），表1表示节点在单位正方形的规则计算区域上均匀分布，如图1所示。

三、比较分析

分别取总节点数为121和441在t=0.4，Re=1，局部点ns=5的情况下，LMAPS分别采用Matern径向基和MQ径向基函数， Local Kansa method方法获得的最大绝对误差MAE，最大相对误差MRE和均方根误差列表RMSE。由于Matern径向基函数不含有形参c，所以不用像MQ函数作径……