安徽省铜陵一中 钟永庆

平面向量数量积的几种基本求法

安徽省铜陵一中 钟永庆

近几年来，平面向量数量积的求解问题在高考选择题、填空题中出现的频率较高，甚至出现在解答题中，我们应予以足够的重视。本文结合几道典型例题谈谈如何求平面向量的数量积，希望对大家有所启发。

一、定义法

例2已知a、b、c均为单位向量，且|a+b|=1，则（a-b）·c的取值范围是（）。

二、坐标法

解析如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，由题意知，

总而言之，写作是一项综合技能，离不开遣词造句、谋篇布局，每个环节都很重要。英语写作能力的提高也不可能一蹴而就，是一个长期积累、逐步提高的过程，需要平时大量的练习。只要我们循序渐进、持之以恒，我们的英语写作水平就一定会不断提高。

解析依题意，以A为坐标原点，以AB、AC所在直线为x轴、y

点评平面向量的坐标运算：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2。用坐标法解决数量积问题，必须先建立适当的直角坐标系，用坐标表示出相应的点和向量，再利用坐标运算公式进行计算。如果题中涉及一些较为规则、对称的图形时（如等边三角形、矩形等），此法往往会给我们的计算带来极大的方便。

三、基向量法

例6如图5，在Rt△ABC中，已知斜边BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，则PCCQ与BCCC的夹角θ取何值时BCCP·CCCQ的值最大？求出这个最大值。

点评求向量a、b的数量积时，若a、b的模和夹角都不容易求出来，且题中所给的平面图形不适合建立坐标系时，可以考虑此法。依据平面向量基本定理，用其他已知或很容易求出模和夹角的向量来表示a、b（即选定一组基底，其他向量都用基底表示），再进行相应的线性运算，从而解决问题。

点评事实上，坐标法是基向量法的特例，已知a=（x1，y1）=x1i+y1j，b=（x2，y2）=x2i+y2j，其中i、j是单位正交基底（即两个相互垂直的单位向量），

四、几何意义法

A.2B.4C.6D.8

点评向量数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积。如果我们能找到一个向量在另一个向量方向上的投影，采用这种方法能大大减少计算量。

练习

1.已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则（2a-b）·b=。

3.已知i、j、k表示共面的三个单位向量，i⊥j，那么（i+k）·（j+k）的取值范围是（）。

A.［-3，3］B.［-2，2］

4.已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为△ABC内一点，且P△△A+2P△△B+3P△△C=0，则P△△A·P△△B=（）。

参考答案