安徽省灵璧黄湾中学 华兴恒

把握运动合成与分解的本质

安徽省灵璧黄湾中学 华兴恒

运动的合成与分解问题对同学们来说难度较大，因为合成与分解方式的选择不是随心所欲的，而要根据实际情况来进行。下面我们一起来探究几例，希望对同学们能够有所启迪。

一、正确判断两个直线运动合成后是曲线运动还是直线运动

物体做曲线运动的条件是物体所受合外力的方向与物体的运动方向不在一条直线上，即物体运动的速度方向与加速度方向不在一条直线上。显然判断合运动是曲线运动还是直线运动也应依据这一条件。具体判断方法如下：（1）求出两个直线运动的合初速度，即v=v1+v2；（2）求出两个直线运动的合加速度，即a=a1+a2；（3）判断合加速度a与合初速度v的方向关系。

若v=0但a≠0，则合运动为初速度为0的匀加速直线运动；若v≠0但a=0，则合运动为匀速直线运动；若v≠0且a≠0，且二者方向在同一条直线上，则合运动为匀加速直线运动；若v≠0且a≠0，且二者方向不在同一条直线上，则合运动为曲线运动。

例1关于运动的合成，下列说法中正确的是（）。

A.两个直线运动的合运动一定是直线运动

B.两个不在同一条直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动

C.两个初速度为0的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动

D.匀加速直线运动与匀速直线运动的合运动一定是直线运动

解析根据前面的分析可知，因选项A中两直线运动的初速度与加速度都不明确，所以合成后的合初速度与合加速度的方向关系也不明确，故合成后运动是直线运动还是曲线运动也就无法确定，故选项A错误；因选项B中的两个运动是匀速直线运动，合成后的合初速度是一个定值，合加速度为0，所以合成后的运动一定是匀速直线运动，故选项B正确；因选项C中两个运动都是初速度为0的匀加速直线运动，合加速度是一定值，合初速度为0，合成后的运动一定是初速度为0的匀加速直线运动，故选项C正确；虽然选项D中两个运动合成后的加速度很明确，可是由于匀加速直线运动的初速度不明确，所以导致两个运动合成后的初速度方向不明确，则合成后的合初速度与合加速度的方向关系不明确，则合成后运动是直线运动还是曲线运动也就无法确定，故选项D错误。本题应选B、C。

二、对拉船上岸模型问题要能正确地分解

图1

图2

如图1所示，用轻绳将小船由位置A拉到位置B，会有下面的两种效果产生：（1）定滑轮O到船头C这段绳子的长度变短；（2）轻绳与竖直方向的夹角θ变小。

若假设轻绳与竖直方向的夹角保持不变，只有绳OC缩短，这样小船就会沿绳运动；若假设轻绳OC段的长度保持不变，轻绳与竖直方向的夹角减小，这样小船就会以O为圆心、以绳OC的长度为半径做圆周运动，在C点的线速度沿切线方向，垂直于半径OC。显然小船同时参与两个运动：一个是沿半径方向（即绳CO方向）的直线运动，另一个是以OC为半径的圆周运动。

例2如图2所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车与被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，则下列说法正确的是（）。

A.物体在做匀速运动，v2=v1

B.物体在做加速运动，v2>v1

C.物体在做加速运动，v2

D.物体在做减速运动，v2

解析因汽车的运动导致两个效果：一个是滑轮到汽车之间的绳子变长，另一个是滑轮到汽车的绳子与竖直方向之间的夹角变大。显然汽车的运动由沿绳的方向的直线运动和垂直于绳的方向的圆周运动合成，所以汽车的运动应从沿绳和垂直于绳的两个方向进行分解，如图2所示。

根据图中所示的分解，有v2=v1sinθ，由于v1是恒量，θ逐渐增大，所以v2增大，即物体加速上升，且v2

三、小船渡河问题

如果水流的速度大于小船在静水中的航行速度，则不论小船怎样航行，都会被水冲向下游，那么怎样才能使得小船漂向下游的距离最小呢？如图4所示，设船头（v船）与河岸成θ角，合速度（v）与河岸成α角，容易看出α角越大，船漂向下游的距离越短。在什么条件下α角最大呢？可以以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大。

例3如图5所示，河水流速v1=5 m/s，一只小机动船在静水中的航行速度v2=4 m/s。现在它从A点开始渡河，要使其位移最短，船头应指向何方航行？

四、平抛运动问题

例4如图7所示，与水平面的夹角为θ的直角三角形木块（斜面足够长）固定在地面上，将一个可以看作质点的小球以初速度v0从三角形的顶点上水平抛出，试求小球距斜面的最远距离是多大？

解析假设小球运动到B点时距离斜面最远（如图8），根据题意可知，此时小球的速度与斜面平行。作速度的反向延长线，与水平位移AF交于中点D，过B点作垂直于斜面的垂线BE，过D点作垂直于斜面的垂线DC，则BE=DC，BE即为小球到斜面的最远距离。

五、速度与加速度的关联问题

如图9所示，在一光滑水平面上放一物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动。当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度v物是多大？

此问题还可以利用微元法、运动的分解等方法求解，同学们不妨试一试。

例5在水平光滑细杆上串着A、B两个刚性小球，两球间距离为L，用两根长度同为L的不可伸长的轻绳与C球连接，如图10所示。开始时三球静止，两绳伸直，然后同时释放三球。已知A、B、C三球质量相等，试求A、B两球的速度vA或vB的大小与C球到细杆的距离h之间的关系。

解析求解本题的关键是要找到A、B两球的速度和C球的速度之间的关系。易知vA=vB，在图10所示的位置，BC绳与竖直方向成θ角。因为BC绳不能伸长且始终绷紧，所以A、B、C三球运动时的约束条件是B、C两球的速度vB和vC（或A、C两球的速度vA和vC）在绳的方向上的投影应相等，即vCcosθ= vBsinθ。

例6如图11所示，均匀直杆连着两个小球A、B，不计一切摩擦。当杆滑到如图所示的位置时，B球水平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直方向的夹角为θ，求此时A球速度vA和加速度aA的大小。

解析将B球速度和加速度沿杆的方向进行投影，则有vB′= vBcos（90°-θ），aB′=aBcos（90°-θ）。

设A球的实际速度为vA，其方向沿竖直方向，将它沿杆的方向进行投影，则有vA′=vAcosθ，aA′=aAcosθ。

因为A、B两个小球连同杆一起运动时，杆始终伸直不弯曲，所以问题的约束条件是A球和B球的速度、加速度沿杆的方向进行投影时大小必定相等，即vBcos（90°-θ）=vAcosθ，aBcos（90°-θ）= aAcosθ。解得：vA=vBtanθ，aA=aBtanθ。

例7如图12所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中：（1）斜劈的最大速度；（2）球触地后弹起的最大高度（球与地面作用过程中机械能的损失忽略不计）。

A、B的运动均可沿斜面方向和垂直于斜面方向分解，如图13所示。