李小光

(西安航空学院 党政办公室，陕西 西安 710077)



环上SS-元素的性质及其应用

李小光

(西安航空学院 党政办公室，陕西 西安 710077)

介绍环上的SS-元素，并研究环上SS-元素的特征。运用SS-元素研究群的代数类，得到环上SS-元素的一系列性质，并给出了一些相应地例题。

SS-元素；SS-环；群代数

0　引言

在文献[1]中，W.B.V.K.[1]首先提出了SS-元素的定义：若环中的元素满足a2=a+a，则这些元素被称为环的SS-元素。在具有单位元的环中，我们总可以找到2个SS-元素，一个是环的加法单位元0，另一个是环的平凡SS-元素2,(2=1+1)；环上除了加法单位元0和平凡SS-元素2之外的SS-元素称为非平凡SS-元素；至少包含一个非平凡SS-元素的环称为SS-环。SS-环中包含零因子和非零因子。文献[2]中证明了，若环中元素是非平凡SS-元素，则该元素一定满足a2≠a，因此，环的幂等元素不可能是非平凡SS-元素，布尔代数被称为环或布尔环，但一定不是SS-环。

1　一些实例

在该运算法则下是一个群代数。

表1　运算法则1

表2　运算法则2

=q1q11+q1q21i+q1q31j+q1q41k+q2q11i+

q2q21i2+q1q31ij+q2q41ik+q3q11j+q3q21

ji+q3q31j2+q3q41jk+q4q11k+q4q21ki+

q4q31kj+q4q41k2

环Q中非平凡的SS-元素是1+i，1+j，1+k，i+j，i+k，j+k，1+i+j+k，因此Q也是SS-环。

2　SS-元素与非平凡SS-元素

定理1设R是环，a是R中的非零元，则a是SS-元素的充分且必要条件是

(1)a2≠a；

证明：充分性：假设a是环R的非平凡SS-元素，a2=a，a+a=a，

定理2设R是环，则下列的结论成立：

证明：显然，环R中“*”和“。”运算的单位元分别是1和0。

从而，我们可知，环R的非平凡SS-元素，当且仅当该元素存在其拟逆元。

=a2-a2ra-ara2+ara2ra

=a+a-ara-ara-ara-ara+ara+ara

=a+a-ara-ara

a+a=a2+b2，b+b=ab+ab，a=1

3　SS-元素的性质

4　结论

综上，我们可以构造一个环上的SS-元素来计算零元素的非零因子的个数，并得到了其相关性质，今后将在本文的基础上继续研究SS-元素的商结构。……