朱纯刚

2016年高考理科数学新课标全国卷（Ⅰ）压轴题：

已知f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设两个零点为x1，x2，求证：x1+x2<2.

此题具有表述简洁明了、背景公平公正、立足于考查基本知识与基本技能、内涵丰富、入口较宽、能力要求高、重视对学生数学素养的考查等特点，对高中数学教学有很好的导向作用，给广大数学教师以很多启示.本文在探究其基本解法的基础之上，谈谈它给中学数学教师的启示.

1解法探究

标准答案是基于下面的解题思路：

对于第（Ⅰ）问，要使f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2的零点有两个，就必须作出其草图，为此必须判断其单调性，考察其极值情况及函数值的分布情况.因此，求导、考察导数的正负性成为必然.

对于第（Ⅱ）问，实际上就是比较大小.比较大小有直接作差比较与用单调性比较等途径，显然直接作差比较没有条件，因为x1，x2根本求不出来，故必须用单调性比较大小.为此需要利用解答第（Ⅰ）问时所得到的结论：x1∈（-∞，1），x2∈（1，2），f（x）在（-∞，1）上单调.

可以说，这是一种最直接、最循规蹈矩、最符合考生实际的解题思路，因为考生在作答该题时，两个小时的作答时间已经所剩无几了，根本没有时间去思考其他的间接思路.实际上，用下面的三种构造解法解答本题，效果可能会更好一些.

法一构造一个常数函数与超越函数（分离参数法）.

解（Ⅰ）显然x=1不是f（x）的零点.故f（x）有两个零点方程a=（2-x）ex（x-1）2有两个不等实根.

令h（x）=（2-x）ex（x-1）2，则f（x）有两个零点函数y=h（x）的图象与函数y=a的图象有两个不同交点.

因为h′（x）=-（x-2）2-1（x-1）3ex>0x<1，

所以h（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，且当x→-∞时，h（x）→0，（x→-∞）；当x→1时，h（x）→+∞.

又h（2）=0，且当x<2（x≠1）时，h（x）>0.

所以要使函数y=h（x）的图象与函数y=a的图象有两个不同交点，必须且只需a>0.

故a的取值范围为（0，+∞）.

（Ⅱ）不妨设x1

因为h（x）在（-∞，1）单调递增，故x1+x2<2x1<2-x2h（x1）

h（x2）

令g（x）=（2-x）e2x-2-x，x∈（1，2），则g′（x）=（3-2x）e2x-2-1，g″（x）=4（1-x）e2x-2<0，

所以g′（x）在（1，2）内单调递减，又g′（1）=0，所以g′（x）<0，

所以g（x）在（1，2）上单调递减，又g（1）=0，所以g（x）<0在（1，2）内恒成立，

故h（x1）

法二构造一个二次函数与超越函数.

由f（x）=0得a（x-1）2=（2-x）ex，

令g（x）=a（x-1）2，h（x）=（2-x）ex，则f（x）有两个零点函数y=h（x）的图象与函数y=g（x）的图象有两个不同交点.

因为h′（x）=（1-x）ex，所以h（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

且当x<2时，h（x）>0；当x>2时，h（x）<0；h（2）=0，h（x）max=h（1）=e.

结合草图容易看出，所求的a的取值范围为（0，+∞）.

（Ⅱ）设x1

因为a>0，所以f′（x）=（x-1）（ex+2a）>0x>1.

所以f（x）在（-∞，1）上单调递减.以下同标准答案.

法三构造一个指数型函数与双钩函数.

显然a≠0，且x≠2.

由f（x）=0得（x-1）2x-2=-1aex.令g（x）=（x-1）2x-2，h（x）=-1aex，

则f（x）有两个零点函数y=h（x）的图象与函数y=g（x）的图象有两个不同交点.

因为g（x）=（x-1）2x-2=x+1x-2=（x-2）+1x-2+2，

所以y=g（x）的图象由双钩函数y=x+1x的图象分别向右、向上平移2个单位得到，而h（x）=-1aex是指数型函数.

结合草图可以看出，所求的a的取值范围为（0，+∞）.

（Ⅱ）同解法二.略.

2对中学数学教学的启示

从该题的众多特点及多种解法可以看出，它对中学数学教学具有很好的导向作用，给广大数学教师以众多启示.

启示一勿以题海战术应对高考

学数学需要解题，甚至大量解题，但并不等于一定要在题海中遨游.应引导学生认真做好解题后的反思这一环节，尽量做到一题多解，举一反三，触类旁通，而不是大量地重复练习.利用导数研究函数的零点是导数的基本应用之一，每一个参加高考的学生都应该熟知，也应该经历过这方面的解题训练，去年全国卷的压轴题也是考查函数的零点，近年来各省市的高考题中也经常出现，此类题对参加高考的学生来说应该是常见题，并不感到陌生.因此，完全没有必要通过题海战术来应对高考的常见题型.

启示二应立足于基础知识的灵活运用与数学素养的提升

由前面给出的几种解法可以看出，解答本题都是灵活运用一些常见的基础知识，在用解法三解第（Ⅰ）问时，就只用到了高一必修一的知识，根本没有用到导数.如果学生的基础知识扎实，数学素养较好，很容易发现由方程通过变形可以分离出双钩函数与指数型函数.因此，在教学中我们应重视基础知识的灵活运用，重视学生数学素养的提升，加强通式通法的教学，没必要剑走偏锋、一味地追求一些偏难怪的方法.

启示三必须重视数学概念尤其是核心概念的教学

函数的零点、函数的单调性、导数是高中代数部分的几个核心概念，本题就是围绕这几个核心概念立意的.

教材在定义函数的零点时，为了突出“零”字，定义函数的零点即为方程的根，亦即为函数图象与x轴交点的横坐标.但如果把x轴看成函数y=0的图象，函数的零点也可以这样定义：函数的零点即为方程的根，亦为两个函数图象交点的横坐标.这个定义蕴含了数学中的构造思想，即由方程左右两边分别构造一个函数，考察函数的零点就是考察这两个函数图象交点的横坐标.这样所给的方程有多少种变形形式，就应有多少种构造函数的方式，而不再局限于题目所给的方程.如：为了考察f（x）=x2-3x+2的零点、即方程x2-3x+2=0的根，可以构造两个函数y=x2-3x+2与y=0、也可以构造y=x2与y=3x-2、或者y=x2+2与y=3x、或者y=x-3与y=-2x、或者y=x+2x与y=3等等，再分别考察它们图象交点的横坐标.如果教师在“函数的零点”的教学中，深挖了其潜在价值，抓住了其本质，相信学生在高考中应能给出上面的解法.

在讲授函数的单调性时，很多教师通常只照本宣科地讲“任取x1，x2∈D，且x1x2对任意x1，x2∈D均成立.如果教师在教学中引导学生揭示了单调性的实质，相信学生在看到该题的第（Ⅱ）问时不会感到茫然.

数学有三种不同的形态：第一种是数学家创建数学结构过程中的原始形态；第二种是整理研究成果之后发表于数学杂志上、陈述于教材上的学术形态；第三种是便于学生理解学习，在课堂上出现的教育形态.数学概念教学应该把抽象难懂的“第一种、第二种形态”转化为“第三种形态”，这种转化在某种程度上实现了对数学概念的再创造，而这种再创造的过程正是概念的生成过程，正是发展学生思维、提升学生能力的过程，也正是探究概念本质的过程.因此，教师在教学中必须重视数学概念尤其是核心概念的教学.

启示四打造真正意义上的“高效课堂”

目前，中学教育界关于“高效课堂”可以说是众说纷纭，围绕“如何打造高效课堂”这一话题，产生了多种不同的课堂教学模式，如“三讲三不讲”、“翻转课堂”、“先学后教”模式等等，几乎每一个模式发明者都认为采用自己的教学模式去教学的课堂是高效的.这就存在一个高效课堂的评判标准的问题，前面所说的一些教学模式实际上是以“学生对当堂知识的掌握”为标准来评判是否高效的，而“高效课堂”的真正评判标准应该是“教育价值”.教育的价值就是促进人的全面发展.一个人没有知识肯定不能全面发展，但有了知识就一定能全面发展吗？显然不是.要让一个人全面发展，还必须关注其情感、态度、价值观，必须关注非智力因素方面的发展.由于人与人之间千差万别，因此，真正意义上的“高效课堂”，是没有固定模式可循的，这才是真正的“教无定法”.

真正意义上的“高效课堂”，应是促进人的全面发展的课堂，也就是说应该是发展人、完善人的课堂.要发展人、完善人，教师在教学中就应该尽可能地引导学生进行知识的再创造，发现数学知识中所蕴含的数学思想.学生有了数学思想，就会在思想的引领下运用知识发现和解决问题，解决问题需要能力，学生在需要能力的活动中就能形成能力.关注知识的再创造过程，就是关注学生的情感、态度、价值观的过程，关注学科素养对人的发展的贡献的过程.

高考虽然有其局限性和片面性，但不能否认高考仍然是一种对学生相对全面考查的有效方式.解答高考压轴题需要用到多种数学思想与方法，需要有较强的发现问题与解决问题的能力，需要有良好的心态，需要有正确对待高考的态度.所有这些，都需要教师在平时的课堂教学中有意识地培养、正确地引导.因此，只有打造了真正意义上的高效课堂，学生才能得到真正发展，才能在高考中取得优异成绩.