朱纯刚

2016年高考理科数学新课标全国卷（Ⅰ）压轴题：

已知f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设两个零点为x1，x2，求证：x1+x2<2.

此题具有表述简洁明了、背景公平公正、立足于考查基本知识与基本技能、内涵丰富、入口较宽、能力要求高、重视对学生数学素养的考查等特点，对高中数学教学有很好的导向作用，给广大数学教师以很多启示.本文在探究其基本解法的基础之上，谈谈它给中学数学教师的启示.

1解法探究

标准答案是基于下面的解题思路：

对于第（Ⅰ）问，要使f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2的零点有两个，就必须作出其草图，为此必须判断其单调性，考察其极值情况及函数值的分布情况.因此，求导、考察导数的正负性成为必然.

对于第（Ⅱ）问，实际上就是比较大小.比较大小有直接作差比较与用单调性比较等途径，显然直接作差比较没有条件，因为x1，x2根本求不出来，故必须用单调性比较大小.为此需要利用解答第（Ⅰ）问时所得到的结论：x1∈（-∞，1），x2∈（1，2），f（x）在（-∞，1）上单调.

可以说，这是一种最直接、最循规蹈矩、最符合考生实际的解题思路，因为考生在作答该题时，两个小时的作答时间已经所剩无几了，根本没有时间去思考其他的间接思路.实际上，用下面的三种构造解法解答本题，效果可能会更好一些.

法一构造一个常数函数与超越函数（分离参数法）.

解（Ⅰ）显然x=1不是f（x）的零点.故f（x）有两个零点方程a=（2-x）ex（x-1）2有两个不等实根.

令h（x）=（2-x）ex（x-1）2，则f（x）有两个零点函数y=h（x）的图象与函数y=a的图象有两个不同交点.

因为h′（x）=-（x-2）2-1（x-1）3ex>0x<1，

所以h（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，且当x→-∞时，h（x）→0，（x→-∞）；……