张秀兰

【摘要】 导数对于我们而言并不陌生，因为它时时刻刻出现在我们的身边，它对于我们的实际生活有着无与伦比的作用，它产生于生活，实践于生活.

【关键词】 导数；实际问题；利润最大化

一、导数应用于优化解决社会生活实际问题时应注意

第一，看清题意，找出正确的变量，当变量数量多时，应注意理清，写出正确的关系式；

第二，看清题意，确定正确的自变量的取值范围；

第三，一定要根据问题的实际情况得到相应的结果，不要答非所问；

第四，要做到具体问题具体分析.

二、导数实例分析

（一）怎样实现利益最有化

案例1 制作衬衫的公司，其产品的级别是不一样的，依据品质可以分为12个等级，最次的产品每一件可以获利12元钱，之后产品的档次提升一级，获利就多出7元钱，但是会在同樣的时间里少制作3件，如果时间是同样的，最次的产品能够制成100件. 那么在同样的时间里，制作哪个等级的产品获利最大？有多少？

思维指引 大家平日里常常会遇到类似于“最大面积”“费料最少”“获利最优”“速度最大”“强度最高”等归类于求算一个函数的最值得情况，这时，通过求导的方式算出函数的最大或最小值就行，不过计算时函数一定要符合规定的范围.

解 设相同的时间内，生产第 x（x∈N*，1 ≤ x ≤ 12）标准的衬衫利润y最大.根据题意，得

y = [12 + 7（x - 1）][100 - 3（x - 1）] = 25（x + 1）（21 - x）对其上式求导数，可解得y′ = 30 × （x - 12），令y′ = 30 × （x - 12） = 0，解得x = 12. 因x = 12∈[1，12]，y 只有一个极值点，且比较闭区间上端点两端的函数值可知，x = 12是最值点，也就是说，在相同的时间内，生产第12标准的衬衫利润最大，最大利润为3788元.

（二）怎样使费料与用钱最少

案例2 一个制造易拉罐的工厂，在其产品的容量特定时，需要如何设定产品的高、底、半径，以达到费料最少的目的？

解 我们现在设该圆柱的高为h，底半径为R，则易拉罐表面积S = 2πRh + 2πR2.

根据，V=πR2h，可以得到h = v/πR2，可得S（R） = 2πR/πR2 + 2πR2 = 2RV + 2πR2，对上式求导可得，S′（R）=4πR - 2πR2 = 0.

解得：h=2R.

由于S（R）的极值是唯一的，因此最小的值是它.

答：要想使用最少的材料，必须让罐的高和罐底的直径数值一样.

总结 如果易拉罐的表面面积一定，为S时，需要如何设置罐子的高和罐子的底面半径长，才可以达到费料最少的目的.

案例3 在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

思路一：设箱底边长为x cm，则箱高h = cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：r（x） = x2h= （0 < x < 60），从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的，这个结论是否具有一般性？

变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？

提示：V（x） = x（a - 2x）20 < x < .

答案：x = .

评注 这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.

（三）怎样用最短的时间追击

案例4 小陈在下公交后，发现有物品丢在车上，这个时候车子已经在十字路口停下，他追车子的速度是6 m/s，当绿灯亮时，他距车子20 m，车子的速度在增加，为a = 2m/s2，小陈可以赶上车子吗？如果没有赶上，那么他距车子最少多少米.

分析 需要利用物理上有关的位移表达式创建模型，通过导数计算出最值.

设小陈在t秒后能够赶上汽车，那么小陈走过的位移为S = at2 = ，结合题目的内容可得，-t2 + 6t = 20，对其化简可得，t2 - 10 t + 40 = 0.

由于判别式△ < 0，该方程无解，因此小陈不能赶上汽车. 小陈未能成功赶上汽车，在t秒后，汽车与小陈的相距为：f（t） = s2 + 20 - S1 = at2 t2 - 10t + 40 = 0，对其进行求导可得，t = 8，所以，小陈在t = 8的时候与车的距离最短，为12米.

总结，此道题是求追赶时的最小值，换个角度，其实是求算二次函数的最值. 在运算时，不仅可以运用导数而且通过配方、图像、顶点坐标等知识点也可以算出.

结 论

此文通过列举人们较为陌生的案例，希望人们重新学习与了解使用导数工具性的范围.