李　鑫

(安徽科技学院　信息与网络工程学院，安徽　凤阳　233100)



梁振动方程一类稳定的紧致差分格式

李鑫

(安徽科技学院信息与网络工程学院，安徽凤阳233100)

针对四阶梁振动方程运用有限差分方法，构造一类无条件稳定的紧致差分格式。利用Fourier级数法验证差分格式的收敛性，并运用Lax等价性定理证明了格式的稳定性，最后通过两组数值实验证明格式的有效性和实用性，并最终将格式的收敛阶精度由之前的o(τ+h2)提高至o(τ+h4)便于科学和工程计算中的更好应用。

梁振动方程；紧致差分格式；收敛性；稳定性

梁振动方程作为高阶偏微分方程中的一类[1]，在大型工程项目和桥梁建设方面具有广泛的应用。对于此类方程数值解的研究，[2-6]中运用广义差分法进行计算，但格式的精度不高；[7-11]中运用多辛算法进行求解，精度可达二阶；周良强等在[12]中构建了高精度差分格式但含有多个参数。本文利用紧算子，对此类方程构建无参数隐式的紧致差分格式，将格式精度提高至，且证明该格式的无条件稳定性，从而使梁振动方程在工程计算方面得到更好的应用。

对于梁振动方程

utt+k2uxxxx=0

本文考虑方程的初边值问题，给出初值条件

和边值条件

其中长度l为的梁自由振动，两点简支，以u(x,t)表示位移。

令

v=ut,w=kuxx.

则上述初边值问题可化为如下问题：

vt=-kwxx,00wt=-kvxx,00

(1)

v(x,0)=u1(x),w(x,0)=k(u0(x))xx,0

(2)

v(0,t)=v(l,t)=w(0,t)=w(l,t)=0,t>0.

1　相关符号的定义和差分格式的建立

对平面区域[0,l]×[0,T]作网格剖分，取空间步长为h=l/J,时间步长为τ.xj=jh,tn=nτ,j=0,1,…,J,n=1,2,…,N,N=[T/τ],J,N均为正整数。为后面表示方便，引入如下记号：

针对上述初边值问题(1)-(3)，构造如下差分格式：