陈文斌, 张　猛

(武夷学院数学与计算机学院，福建 武夷山 354300)



一类Rayleigh型平均曲率方程周期解存在与唯一性

陈文斌, 张猛

(武夷学院数学与计算机学院，福建 武夷山 354300)

运用重合度理论和一些新的分析方法探讨了一类Rayleigh型平均曲率方程周期解存在性与唯一性问题,得到了一些相应的新结果并举例说明其结果的有效性.

周期解;平均曲率;重合度定理;Rayleigh

0　引　言

近年来,许多学者运用Mawhin重合度拓展定理对平均曲率方程周期解存在性问题的研究获得了很多结果[1-5].例如,在文献[1]中,Li研究了一类具时滞Rayleigh型平均曲率方程

(1)

通过转化,将(1)转化等价方程组,

(2)

利用重合度理论,得到了方程组(2)至少存在一个T-周期解,从而解决了方程(1)的周期解问题.方程组(2)先验界估计的过程中,需满足条件|y|0<1.但文献[1]中并没有去验证这个条件.梁在文献[2]中研究了一类具有偏差变元的广义平均曲率方程周期解问题,方程如下:

(3)

对于方程(3),如果下列条件成立:

则问题(3)至少存在一个T-周期解.很明显,作者对于问题(3)的解决给了足够复杂和较多的条件,尤其是条件(A3)非常强,在该文章中,这个条件是用来验证先验界估计{Ω⊂{(x1,x2)T∈X:|x1|0

受到上述文献研究问题的启发,我们通过使用Mawhin重合度理论和运用一些技巧解决了下列一类具有时滞Rayleigh型平均曲率方程

(6)

周期解存在性问题,其中f,g,e∈C(R,R).此外,还证明了该方程周期解唯一性问题.最后，用一实例来说明所得结果的有效性.

1　主要引理

1)对任意的λ∈(0,1),x∈∂Ω∩D(L),均有Lx≠λNx;

2)对任意的x∈KerL∩∂Ω,均有QNx≠0;

引理2[7]如果u:R→R是在R上是连续可微的且a>0,则有下列不等式成立：

为了应用引理1,研究下列方程组

(7)

X=Y={x|x=(x1(t),x2(t))Τ∈C(R,R2),x(t)=x(t+T)},

其中D(L)={x|x=(x1(t),x2(t))Τ∈C1(R,R2),x(t)=x(t+Τ)}.

又因为

令

其中

2　主要结果

首先,为了……