李璐璐, 宋卫东

(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)



一类对偶平坦球对称Finsler度量的构造

李璐璐, 宋卫东

(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

研究对偶平坦球对称Finsler度量,通过构造对偶平坦方程的解,获得了一类对偶平坦的球对称Finsler度量.

局部对偶平坦；球对称；Finsler度量

1　引言与预备知识

对偶平坦的流形是微分几何中一类重要的研究对象,应用非常广泛.在信息几何、相对论、超弦理论中有重要的应用[1-2].沈忠民[2]曾经从Finsler几何的角度研究信息几何, 发现对偶平坦的Finsler度量在研究信息几何中有着重要的作用.在文献[3] 中将没有二次型限制的对偶平坦的概念应用到Finsler度量中.近些年来, 对偶平坦球对称Finsler度量引起了很多人的注意,文献[3-5] 中构造了大量的对偶平坦球对称Finsler度量.

开区间U⊆Rn上的Finsler度量F=F(x,y)称为对偶平坦，如果F满足下列的PDE:

[F2]xiyjyi=2[F2]xj.

(1)

第一个非黎曼的对偶平坦的Finsler度量是单位球Bn(1)⊆Rn上的Funk度量

构造非黎曼的对偶平坦的Finsler度量成为Finsler几何研究的一个重要问题.最近莫小欢等[6-8]构造了一系列对偶平坦的球对称Finsler度量. 所谓球对称Finsler度量F=F(x,y),如果F满足

F(Ax,Ay)=F(x,y).

(2)

其中A是正交矩阵.这些度量最早是由S.Rutz[9]提出.

命题1[6]设F是Bn(r)⊆Rn上的Finsler度量,则F是球对称Finsler度量当且仅当存在光滑函数φ:[0,r)×R→R使得

(3)

式(3)也可表示为下列形式[6]

(4)

命题2[6]球对称Finsler度量(4)是对偶平坦方程(1)的解,当且仅当f满足下列的PDE:

sfts+fss-2ft=0,

(5)

本文通过构造式(5)的解获得如下结果.

定理1函数f(t,s)定义为

(6)

该函数是出现在概率论、统计学[10]和部分微分方程中的一种……