何春乐，王福谦

(长治学院 电子信息与物理系，山西 长治　046011)



线电流与带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成的磁场及其数值模拟

何春乐，王福谦

(长治学院 电子信息与物理系，山西 长治046011)

将保角变换和磁像法相结合，求解由线电流与带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成的磁场，给出磁矢势分布和磁感线方程，并利用软件MATLAB对磁场分布进行数值模拟.

线电流；带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板；保角变换；磁像法；磁矢势；磁感线；数值模拟

本文拟利用复数坐标系z上的儒可夫斯基变换和磁像法，研究由线电流与带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成的磁场，给出磁矢势分布和磁感线方程，并利用软件MATLAB的数值模拟功能，绘制出其磁感线图.

1　理论依据

在通过保角变换法求解二维静磁场边值问题时，因为z平面上的线元经保角变换函数w=f(z)变换到w平面上时，其长度要伸长|f ′(z)|倍，载流区域内的电流密度J(x,y)，经保角变换后也将变化为J′(ξ,η)=|f ′(z)|2J(x,y)[1]，且f ′(z)不是常量，其量值是随坐标而逐点变化的.所以，对于一定分布的电流密度和一般的均匀磁介质，其所对应的边值问题并不能通过保角变换法进行求解，原因是保角变换不但改变了磁介质的均匀性，同时也改变了原有的电流分布.但对于载流导体为线电流且磁介质为铁磁质的情形，通过保角变换不但可将电流映射到确定的位置上，使其电流强度保持不变，而且保角变换后介质的磁性能也无变化，因为铁磁质的磁导率相对真空为无穷大，而真空为一特殊的磁介质，经变换后其磁性能也不会变化.因此，本文拟将保角变换法和磁镜像法相结合，求解线电流与带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成的磁场，并对其场分布进行数值模拟.

2　带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板的横截面及线电流位置的变换

2.1半椭圆到半圆的变换

如图1所示，一无限大的铁磁质平板带有一长、短半轴分别为a、b的半椭圆柱凸起，与半椭圆柱凸起平行地放置一电流强度为I的线电流，取其任一截面为复平面z.因在垂直于线电流的所有截面上的磁场分布都相同，故这是一个具有较复杂边界的平行平面静态场问题.为了方便地求解此边值问题，需利用保角变换将其复杂边界变换为简单边界.为此，首先通过如下的儒可夫斯基变换

(1)

图1　带有椭圆柱占起的大铁磁质板的横截面

(2)

(3)

图2　变换后的带有半圆柱凸起大铁磁质板的横截面

2.2消去半圆的变换

为了进一步利用平面磁像法研究线电流与半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成的磁场，需进一步将图2中的半圆形凸起消除，使原区域映射为上半平面.这可通过如下的变换

(4)

来实现.变换后的实轴即为无限大的铁磁质平板的横截面，见图3.

图3　无限大铁磁质平板上方的线电流

因w1=u1+iv1，则

即

(5)

3　磁矢势分布及磁感线方程

由上述变换关系可知，原z平面上的静磁场，经变换式(1)和式(4)，就映射为w平面上如下的平面静磁场：实轴为铁磁质平板的横截面，上、下半平面均为真空，在上半平面的P0(u0,v0)处放置线电流，线电流的位置坐标为

(6)

而

(7)

其中

(8)

图4　w平面上的场点及线电流位置

图5　由平面磁像法求磁场的分布

对于真空和铁磁质，由于μFe>>μ0(铁磁性材料的磁导率的数量级在102—106以上[3])，故在实际计算中将按μFe→∞来处理，则镜像电流I′为

(9)

式(9)表明，真空中的磁场由原电流I和一个与其大小和方向都相同的电流在镜像处对场点产生场的叠加.原电流I和镜像电流I′在真空中的场点处所产生的磁矢势的大小分别为

(10)

(11)

(12)

其中u0、v0由式(6)、式(7)确定.

将式(12)代入式(10)、式(11)，有

(13)

(14)

由式(13)、式(14)可得w平面上半平面的磁矢势的分布为

(15)

其中κ为与w平面垂直且与u和v轴方向成右手螺旋关系的单位矢量.

将变换函数式(5)—式(7)代入式(15)，即得z平面上线电流与带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成磁场的磁矢势分布.

因在平行平面场中，A的等值线就是磁感线[4]，故由式(15)，有

(16)

其中C为任意实常数.

将变换函数式(5)—式(7)代入上式，即得z平面上真空区域中线电流与带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成磁场的磁感线方程.

4　磁场分布的数值模拟

为了给出线电流与带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成的磁场分布的直观图像，并进一步验证本文所得结论的正确性，下面用数学软件MATLAB对该场分布进行数值模拟，其磁感线的分布见图6至图11.

图6　线电流与带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成的磁场的磁感线分布图(a=5,b=4)(线电流位置(-10，5))

图7　线电流与带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成的磁场的磁感线分布图(a=3,b=5)(线电流位置(6，10))

图8　线电流与带有低脊的大铁磁质板所形成的磁场的磁感线分布图(a=0.5,b=10 )(线电流位置(5，10))

图9　线电流与带有半椭圆柱凸起的大铁磁质板所形成的磁场的磁感线分布图(a=0.2,b=8 )(线电流位置(6，12))

图10　线电流与带有低脊的大铁磁质板所形成的磁场的磁感线分布图(a=0,b=5)(线电流位置(-5，6))

图11　线电流与带有半圆柱凸起的大铁磁质板所形成的磁场的磁感线分布图(a=6,b≈6)(线电流位置(-6，10))

由图6至图11可以看出，线电流与带有半椭圆柱凸起的铁磁质板所形成的磁场的磁感线的分布具有以下两个特征：一是由真空进入铁磁质的磁感线，垂直于其分界面(分界面为一等磁标势面)；二是在铁磁质边界的影响下，线电流的磁场发生了畸变，磁感线的形状由原来绕着线电流的一系列同心圆，变为程度不同地脱离同心圆的闭合曲线族.这里波导磁感线的分布特征也与有关文献的结论相一致[5,6]. 电工学中研究各种电机铁芯气隙内磁场的磁感线分布时也经常用到这一特征.

5　结束语

本文用保角变换和磁像法研究了线电流与带有半椭圆柱凸起的铁磁质板所形成的磁场，并把结果扩展到凸起柱形状为低脊和近似半圆柱的情形，为研究真空中线电流与铁磁质所形成的磁场及求解具有复杂边界的静磁场边值问题，提供了一种新的思路和方法，在科研与教学上具有一定的理论意义.因在生产和科研中多遇到线电流处于铁磁质周围的情形，一些实际场合可用此方法来做半定量分析和估算，故本文中所得到的结论也具有一定的实用价值.

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The magnetic field of a linear current and a big ferromagnetics plate with a semi elliptic cylindrical raised and its numerical simulation

HE Chun-le,WANG Fu-qian

(Department of Electronic Information and Physics ,Changzhi University,Changzhi,Shanxi 046011,China)

The magnetic field of a linear current and a big ferromagnetics plate with a semi elliptic cylindrical raised is studied by using conformal mapping and magnetic images method.Its magnetic vector distribution and magnetic induction line equation are obtained.The magnetic induction line maps are plotted by using the software MATLAB.

linear current;a big ferromagnetics plate with a semi elliptic cylindrical raised;conformal mapping;magnetic image method;magnetic vector;magnetic induction lines;numerical simulation

2015-07-29；

2015-10-21

山西省自然科学基金(2012011028-1)资助

何春乐(1979—)，男，山西偏关县人，长治学院电子信息与物理系讲师，硕士，主要从事粒子物理和光电效应的研究工作.

O 441

A

1000- 0712(2016)03- 0022- 05