罗 凌 霄

(大理大学 工程学院，云南 大理　671003)



旋度概念的从头构建法

罗 凌 霄

(大理大学 工程学院，云南 大理671003)

矢量场；环量面密度；旋度

在矢量分析和场论中，旋度理论是建立在斯托克斯公式基础之上的，旋度概念的建立颇费周折[1].另外，旋度的确切含义也往往阐述得不清楚[2].更由于采用了不良的符号系统，导致公式不容易记忆，与物理学的衔接较差，导致电动力学、电磁场理论这些课里还须重讲旋度理论，造成了精力浪费.本文将通过新的途径，从根基上讲清楚旋度概念的由来和确切含义.并且指出计算矢量场沿无穷短线段的线积分时人们常犯的错误.

1　矢量场沿无穷小平面回路的线积分

矢量场f(r,t)是空间坐标和时间的函数，在某一空间区域Ω内，矢量场f(r,t)沿各个坐标轴的分量fxi(r,t)对各个坐标xj的偏导数∂fxi(r,t)/∂xj连续.如图1所示：P(x,y,z)是Ω内任意一点.n是任意的坐标轴，在过P点垂直于n轴的平面内作一无穷小

图1

回路l′圈围P点，回路光滑或者分段光滑，并且使回路的绕行方向与n轴方向符合右手螺旋关系.回路l′处于Ω内，P′(x′,y′,z′)是l′上的任意一点.我们把无穷小回路l′进一步细分为无穷多个线元，使每一个线元的长度与回路长度之比都趋于零.dl′是其中任意的一个线元矢量.

(1)

(2)

(3)

于是t时刻f沿回路l′的线积分(也叫做t时刻f沿回路l′的环量)为

∮l′f(P′)·dl′=∮l′fx(P′)dx′+

∮l′fy(P′)dy′+∮l′fz(P′)dz′

(4)

右边第一项

(5)

(6)

同理可以推出

(7)

(8)

根据分部积分公式可以推出

∮l′z′dy′=-∮l′y′dz′，∮l′x′dz′=-∮l′z′dx′，

∮l′y′dx′=-∮l′x′dy′

把式(6)—式(8)和上面3个关系式代入式(4)，得

[ex∮l′y′dz′+ey∮l′z′dx′+ez∮l′x′dy′]

(9)

2　无穷小平面回路所圈围的面元矢量

ez(z′-z)]×(exdx′+eydy′+ezdz′)=

(10)

无穷小回路l′圈围……