王　鑫，刘天贵，刘全慧

(湖南大学 物理与微电子科学学院 理论物理研究所，湖南 长沙410082)



一维氢原子模型中的空间分离

王鑫，刘天贵，刘全慧

(湖南大学 物理与微电子科学学院 理论物理研究所，湖南 长沙410082)

一维氢原子模型原始的定义在全空间x∈(-∞,∞)，多年的研究发现，由于势～-1/|x|的奇异性比想象严重，空间被分割成为了两个独立的半无限空间.在这两个独立的空间中，分别定义了两个半空间中的氢原子.

一维氢原子模型；空间分离；奇异势能

1　一维氢原子模型，通常教科书中“标准”处理及其结果

一维氢原子模型指的是一个负电荷(-q)在一个质量无限大的正电荷Q中的运动，最简单的情况是Q=q=e为电子电荷的绝对值.电势能为

(1)

其中k=qQ/(4πε0)→e2/(4πε0)为一正常数，|x|为正负电荷间的距离.在量子力学中，哈密顿算符为

(2)

定态薛定谔方程为

Hψ=Eψ

(3)

物理学界第一次注意到这个问题是1952年[1]，后来又反复回到这一问题.2009年的一篇《论一维库仑问题》[2]的短文，列出了54篇相关文献，而这篇论文现有15篇引用(2015年10月3日google数据).当然，这些论文不全是、也不可能是这个问题的全部研究论文.对这个问题的研究兴趣持续不减，至今(2015年)仍是[3,4]，既有理论上的原因，例如它涉及到很现代的概念例如超对称[2]、重整化[5]等；也由于多种物理问题可以用相互作用进行近似处理，详情可参见文献[2]中的综述部分.

从教学研究的角度看，对于一维体系，有3个相关的定理.定理之一是：基态无简并且没有节点.定理之二是：粒子在对称势场中运动，那么对于某一能级的定态，如果没有简并，则该态具有确定的宇称.定理之三是：粒子在充分规则的势场中运动，如果有束缚态，则必定不是简并的.