张杰华，余胜斌

（阳光学院 基础教研部，福建 福州　350015）

具有无穷时滞和反馈控制的离散互惠系统的持久性

张杰华，余胜斌

（阳光学院 基础教研部，福建 福州350015）

提出并研究具有无穷时滞和反馈控制变量的离散互惠系统模型，通过运用差分不等式得到保证该系统持久的一组充分条件。

离散；持久性；无穷时滞；反馈控制；互惠系统

得到了一组保证该系统持久的充分性条件。考虑到生态系统一直受到外界的干扰，如人类的开发等因素，则必须研究具有反馈控制的模型，如Chen［2］就研究了如式（2）单种群反馈控制模型的持久性问题

据笔者所知，尚未有学者针对模型［1］提出差分反馈控制模型，因此研究如式（3）模型

其中xi（k）（i=1，2）是第i个种群密度，ui（k）（i=1，2）是控制变量，且满足下列条件：

（H1）ri，Ki，αi，δi，Ji，Hi，Ri，ai和bi，i=1，2是非负的有正的上下界的序列，

易知系统（3）满足初始条件（4）的解对任意k∈N均有定义且是恒正的。本文通过文献［2-3］的分析手法来探讨系统（3）的持久性。

1　相关引理

引理1［3］假设序列｛x（k）｝满足x（k）＞0，a（k），b（k）均为有正的上下界的非负序列，若x（k+1）≤x（k）exp｛a（k）-b（k）x（k）｝，k∈N，则

引理2［4］假设序列｛x（k）｝满足，且x（N0）＞0，N0∈N，其中a为常数且满足ax*＞1，则

引理3［5］设x：Z→R是非负有界序列，J：N→R是非负序列，且，则

引理4［7］假设A＞0，且y（0）＞0，y（k+1）≤Ay（k）+B（k），k=1，2…，则有

引理5［7］假设A＞0，且y（0）＞0，y（k+1）≥Ay（k）+B（k），k=1，2…，则有

2　持久性

（H2）Kil＞diuNi

定理1若（H1）及（H2）成立，则系统（3）持久的。

证明设（x1（k），x2（k），u1（k），u2（k））T是系统（3）满足初值条件（4）的任一解。由系统（3）的前两个方程可得

由（5）式可得

将（6）代入系统（3）的前两个方程得

应用引理1有

所以，由引理 3有

因此，对任意的ε＞0，存在T1＞0，当k≥T1时，有

将（10）代入系统（3）的第3个和第4个方程得到

应用引理4可得

目前市场上的中药挥发油提取设备型号多样、功能各异，其质量关系到中药挥发油的质量。……