余晓娟

（汉江师范学院 数学与财经系, 湖北 十堰 442000）

一类非线性振动系统的周期运动

余晓娟

（汉江师范学院 数学与财经系, 湖北 十堰 442000）

在非线性振动系统中，周期运动至关重要。该文研究了一类两自由度非线性振动系统的周期运动，这个系统由两个相互耦合的二阶非线性微分方程表示，运用Liapunov函数方法和特殊技巧，得到了该类系统的周期解。

振动系统；周期运动；周期解

1　预备知识

在非线性振动系统中，周期运动具有非常重要的作用，但周期解的存在性问题一直都是研究的重点。

对于多自由度系统的周期解，在理论与应用上都有着十分重要的作用,文献[1]研究了如下一类两自由度系统的周期解：

其中a1，a2，b1，b2是大于0的常数，f1，f2是关于x，y，sint，cost的连续函数。

本文在此基础上，研究比较复杂的一类两自由度非线性系统，它由两个相互耦合的二阶非线性微分方程组成：

系统（1）能够描述许多的物理现象，广泛存在于动力机械、弹性结构的动力屈曲、航空航天设备（火箭或绳系卫星）、船舶在海洋中的航行、流固耦合系统等工程实际问题中，在理论与应用方面都有很重要的地位和作用[1-5]。

2　周期解

将二阶方程组（1）转化为等价的一阶微分方程组：

对其中一些项作处理，设

为方便，我们设

定理设系统（2）满足下列条件：

（i）系数矩阵（3）的特征方程的特征根λi均有负实部，即

其中 δ是一个正常数；

证明为书写简捷方便，我们将a(t), b(t), c(t), d(t) 分别用a, b, c, d表示，则系数矩阵（3）的广义特征方程为：

特征矩阵（3）的所有特征根λi(t)具有负实部，即Re λi≤- δ < 0（i=1, 2, 3,4）。δ是一个正常数，于是有