周志颖

（荆州理工职业学院 基础课部，湖北 荆州 434000）

一类常系数非齐次线性微分方程特解的求法

周志颖

（荆州理工职业学院 基础课部，湖北 荆州 434000）

针对n阶常系数非齐次线性微分方程运用特征函数导数法和比较系数法，得到了方程的一个公式化特解，简单易行。

n阶常系数非齐次线性微分方程；特征根；特解

近年来，微分方程在实际问题中应用越来越广泛，微分方程理论的研究也引起国内外学者的关注。线性微分方程的解作为微分方程的基础，梁树生等[1-5]对其解的结构以及求解方法进行了详尽的描述。龚东山等[6]介绍了n阶常系数非齐次线性微分方程

特解的求法，本文将介绍n阶常系数非齐次线性微分方程

1　预备知识

n阶常系数非齐次线性微分方程（2）对应的齐次线性微分方程为

若r为方程（3）的根，由[4]可得如下定义：

定义1：称

为方程（3）的特征方程。称

为方程（2）的特征函数。

由导数的相关性质[7]可得：

其中u(x)和v(x)均为x的n次可微函数。

2　主要定理

定理：n阶常系数非齐次线性微分方程（2）存在特解：

其中k(k=0, 1, …n)表示λ+iω（或λ-iω）为特征方程（4）的根的重数。

证明：n阶常系数非齐次线性微分方程（2）可表示为指数形式[3]129-130：

互为共轭。

由非齐次线性微分方程的叠加原理[3]112：

的解之和必为方程（8）的解。

现求方程（9）的特解。将Pl(x)与Pm(x)代入方程（9）得：

假定方程（11）有特解：

①当λ+iω不是方程（4）的特征根时，有F( j)(λ+iω) ≠0（j=0, 1,…n），通过观察及比较方程（12）等式两边系数，可得到：

②当λ+iω是方程（4）的k重特征根时，有

F (λ+iω)=F′(λ+iω)=…F(k-1)(λ+iω)=0，F(k)(λ+iω) ¹0，将 F( j)(λ+iω)（j=0, 1,…n）带入方程（12），得：

比较方程（13）等式两边系数，可得：

综合①、②可得方程（9）的特解为：

其中k表示λ+iω（或λ-iω）为方程（4）的k重特征根。

其中k表示λ+iω（或λ-iω）为方程（4）的k重特征根。

由非齐次线性微分方程的叠加原理[3]112可得，方程（8）的特解为:

由复数的相关性质[8]可得：

其中k表示λ+iω（或λ-iω）为方程（4）的k重特征根。证毕。

3　实例

例1求微分方程y′-2y′+5y=exsin2x的特解。

解：由题意可知λ=1，ω=2，l=0， m=0，又微分方程的特征根为r1=1+2i、r2=1-2i，所以λ+iω=2+2i是特征方程的单根，即k=1，由定理可得方程的特解为：

例2求微分方程y′′′-y=cosx的特解。

解：由题意可知λ=0，ω=1，l=0， m=0，又微分方程的特征根为，所以λ+iω=i不是特征方程的根，即k=0，由定理可得方程的特解为：

[1] 梁树生．高等数学（下册）[M].武汉：华中师范大学出版社，2010：137-169.

[2] 阮炯.常微分方程方法导引[M].上海：复旦大学出版社，1991：2-14.

[3] 王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程[M].2版.北京：高等教育出版社，1983.

[4] 孙清华，李金兰，孙昊．常微分方程内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2006：137-215.

[5] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M].3版.北京：高等教育出版社，2002.

[6] 龚东山，刘岳巍．一类常系数线性微分方程特解的求法[J].高等数学研究，2010（4）：58-60.

[7] 同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].5版.北京：高等教育出版社，2002：76-124.

[8] 钟玉泉.复变函数[M].第二版.北京：高等教育出版社，2001：3-16.

A Particular Solution to the Kind of Non-homogeneous Linear Differential Equations with Constant Coeffi cients

ZHOU Zhiying
(Department of Basic Courses, Jingzhou Vocational and Technical College, Jingzhou Hubei 434000, China)

The eigenfunction derivative method and comparison coeffi cient method can be applied to the n-order non-homogeneous linear differential equation with constant coeffi cients, y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y′+pny=eλx(p1(x)cosωx+ pm(x)sinωx), and a formulable specifi c solution is obtained, which is simple and easy.

the n-order non-homogeneous linear differential equation with constant coeffi cients; characteristic root; a specifi c solution.

O175

A

1674 - 9200（2016）03 - 0036 - 03

（责任编辑刘常福）

2015 - 10 - 18

周志颖，男，湖北天门人，荆州理工职业学院基础课部讲师，硕士，主要从事数学教育研究。