刘忠志



矩阵秩的新定义

刘忠志

（广东白云学院 基础教学部，广东 广州 510450）

论文对矩阵的秩有新的定义，这个新定义通俗易懂，有所创意，教学效果好，深受学生欢迎。

矩阵；矩阵的行初等变换；矩阵秩的新定义；齐次线性方程组；高斯消元法

1　传统矩阵秩的定义

几乎所有的线性代数教材中矩阵秩的定义都是这样定义的。这样定义矩阵的秩当然有它的好处。但是，对于应用型本科（二本、三本）学生来说认为比较抽象，较难理解。因此我们采用如下定义。

2　矩阵秩的新定义

我们先定义阶梯阵和规范阶梯阵，再定义矩阵的秩。

注：若矩阵的某行元素全为0，则该行称为0行；至少有一个元素不为0的行称为非0行。

定义2 （规范阶梯阵定义）若阶梯矩阵满足下面两条:

（1）每个非零行的首个非零元是1；

（2）每个非零行的首个非零元1所在列的其他元素全为0。

则这样的阶梯阵称为规范阶梯阵。

上例阶梯矩阵(3)是规范阶梯阵(是前一矩阵用行初等变换化来的)。

定理1 任何矩阵都可以通过单独的行初等变换化为阶梯阵，进而化为规范阶梯阵。

同理可以考虑第二列，设第二列的第二个至最后一个数至少有一个非0（否则，考虑第三列，依此类推），则经过若干次行初等变换可以化为其中，，*表示数。同理可以考虑第三列，设第三列的第三个至最后一个数至少有一个非0（否则，考虑第四列，依此类推），如此继续下去，经过一系列行初等变换，最终得到阶梯阵。进而化为规范阶梯阵（化法是用行初等变换把上述矩阵中化为1，再用行初等变换把这些1所在列的其他数化为0即可）。……