纪华伟　虞文泽　胡小平　于保华

杭州电子科技大学，杭州，310018



刀具负载对蜂窝复合材料超声切割声学系统阻抗特性的影响

纪华伟虞文泽胡小平于保华

杭州电子科技大学，杭州，310018

针对刀具负载对蜂窝复合材料超声切割声学系统的影响，利用四端网络法，将压电换能器与变幅杆结合在一起，提出了声学系统的整体设计方程，得出了负载与声学系统阻抗特性的关系式。利用有限元软件对声学系统进行模态分析及谐响应分析，并利用阻抗分析仪和激光位移传感器对声学系统的阻抗﹑谐振频率和输出振幅进行检测。仿真和实验结果表明：随着刀具负载的增大，声学系统的阻抗值增大，谐振频率减小，但仿真与实验得出的输出振幅与理论分析不同，这是由于刀具的放大作用造成的。研究结果对声学系统的设计及实际应用有指导意义。

刀具负载；蜂窝复合材料；四端网络法；声学系统；阻抗

0　引言

随着蜂窝复合材料在航空等领域占有越来越重要的地位，其加工难题也越来越突出。传统加工方法采用的是高速铣削的方式，但是加工之后的材料表面出现毛刺和断裂，并且其加工过程会产生大量的粉尘，对人体有巨大的伤害。实践证明，超声加工之后的材料表面平整并且不会产生粉尘。利用直刃刀具对蜂窝复合材料进行超声切割是针对粗加工提出的，相较于超声铣削，超声切割的效率更高，更适合用于进行粗加工。

超声切割声学系统的设计方法主要有传统解析法、阻抗分析法﹑四端网络法[1-2]等。由于无法获取刀具负载阻抗等具体的相关参数，故传统的设计方法很难将刀具负载与声学系统一起进行设计。传统的设计方法解析方程十分复杂，并且缺少能够将换能器以及变幅杆结合起来的理论方法。针对负载，郭东明等[3]研究了工具负载对复合变幅杆谐振性能的影响，得出了工具负载的尺寸与谐振频率之间的关系；赵波等[4]通过实验得出不同负载与品质因数的关系，其研究结果表明：负载增大时，声学系统品质因数急剧下降；林书玉等[5]针对阻性负载提出了阻性与谐振频率及放大系数之间的关系；尹晓春等[6]利用瞬态响应解对考虑工作负载的超声变幅杆的瞬态动力学进行了研究，分析了高频振动下的变幅杆性能变化。现有的大多数研究都是针对单一对象进行分析的[7-13]，而不是将各个部件结合在一起进行理论分析，同时，在设计时无法对刀具进行参数化分析，故现有的设计都是针对空载进行的，从而导致设计与实际带负载的情况之间存在很大的偏差。

考虑到以上问题，本文通过理论推导得出了压电陶瓷四端网络参数表达式，并通过四端网络法将压电换能器与变幅杆结合在一起，得出声学系统输入阻抗表达式﹑频率方程和输出振幅关系式。利用阻抗分析仪和激光位移传感器对实际声学系统进行测试，得出增加刀具负载之后声学系统的输入阻抗﹑谐振频率和输出振幅的变化规律。

1　基于四端网络法的超声切割声学系统阻抗分析

对于任意函数的纵振杆都可以将其等效成一四端网络[1]，如图1所示。图1中，vin、Fin分别为输入振速和输入力，vout、Fout分别为输出振速和输出力，Ai为四端网络参数,i=1,2,3,4。

图1　四端网络示意图

超声切割声学系统包含压电陶瓷、前端盖、变幅杆以及负载，分别考虑压电陶瓷、前端盖以及变幅杆形成的四端网络系统，并根据声学系统物理结构将其组合在一起，则超声切割声学系统可以等效成如图2所示的四端网络。图2中，U、I分别为声学系统输入电压和输入电流，ai、bi、ci分别为压电陶瓷、前端盖以及变幅杆的四端网络参数，分别求出各参数表达式并将其组合在一起即形成声学系统四端网络参数。

图2　超声切割声学系统四端网络示意图

1.1变幅杆四端网络

一维纵振杆波动方程[1]为

(1)

变幅杆的四端网络表达式为

(2)

边界条件为：F2=-F(0),F3=-F(L3),v2=v(0),v3=-v(L3)。其中，L3为变幅杆长度。

以圆锥形变幅杆为例，变幅杆四端网络中的参数如下：

α=(N-1)/(NL3)

式中，ρ3为变幅杆密度； c3为变幅杆中的声速； S3、S4分别为变幅杆大端面面积和小端面面积。

1.2压电陶瓷四端网络分析

压电陶瓷不同于变幅杆，它并不是一个单纯力输入输出的元件，而是将电能转化成机械能的元件，输入为电压和电流，输出为振速和力，其四端网络示意图见图2。

选择圆柱形压电陶瓷，取长度为Lp、端面面积为Ap的压电陶瓷，在距离压电陶瓷端面z处取微分单元dz为分析对象，如图3所示。其中,u3为z处的位移。

图3　压电陶瓷模型

当压电陶瓷满足一维纵振时，X1、X2方向的应力T1、T2，电场强度E1、E2，电位移D1、D2可忽略不计，即

T1=T2=0

E1=E2=0

D1=D2=0

对于无损耗的压电材料，e型压电方程[14]为

(3)

结合牛顿第二定律和电荷守恒方程可得

(4)

又因

(5)

式中，φ为电势。

将式(3)、式(5)代入式(4)可得

(6)

利用分离变量的方法，可将位移和电势的空间和时间函数表示如下：

(7)

将式(7)代入式(6)可得

(8)

根据式(8)可得到：

(9)

利用边界条件即可求得c1、c2、c3、c4。

同理可解得：

(10)

通过电位移在电极面积上的积分，再对时间求导就可得到电流，通过位移对时间的微分可得到压电陶瓷的振速，则有

(11)

根据式(11)以及边界条件u3(z=0)=0,φ(z=0)=0，T3(z=Lp)=F3/Ap,φ(z=Lp)=-U，可得到压电陶瓷四端网络传递参数：

1.3前端盖四端网络分析

压电陶瓷的两个输出端分别连接着压电换能器的前端盖和后端盖，而变幅杆及负载均连接在前端盖上，所以只需要研究前端盖方向上的等效模型即可。前端盖采用圆柱形，因此可将前端盖看成一节圆柱形变幅杆，其四端网络示意图见图2，四端网络参数的推导方法与变幅杆相同。通过计算，可得前端盖四端网络参数为

b1=b4=cos(k2L2)

k2=ω2/c2

式中,ρ2为前端盖密度；S2为前端盖端面面积；c2为前端盖中的声速；L2为前端盖长度。

1.4超声切割声学系统阻抗特性

根据变幅杆、压电陶瓷以及前端盖的四端网络分析，由图2可得到声学系统传输矩阵：

(12)

(13)

式中，ZF为负载。

则输入阻抗：

(14)

由式(14)可知，当负载ZF增大时，输入阻抗|Zi|也随之变大。

当ZF=0，即不存在负载时

(15)

当Zi为纯阻时，可得如下频率方程：

(16)

参考变幅杆放大系数M的定义，可提出超声切割声学系统的输入输出的关系式：

(17)

如果刀尖处的瞬时位移为s=Asin(2πft+b)(A为刀尖振幅)，则刀尖瞬时速度为v=2πfAcos(2πft+b)，故刀尖的最大速度与振幅的关系为vmax=2πfA。

结合上述条件可得到振幅﹑负载和电流的关系式：

(18)

2　带刀具负载的有限元仿真

由以上分析可知刀具负载对声学系统的阻抗值和谐振频率的影响。除了这两个参数之外，对于超声切割而言，影响切割效果的另一个参数振幅，也是极其重要的。

通过增加刀具长度的方式来增大刀具的负载值。利用ANSYSWorkbench软件对空载以及带载荷的声学系统进行模态分析和谐响应分析。

2.1带刀具负载的模态分析

对空载声学系统进行模态分析， 求解前25阶模态。得到空载声学系统的纵振模态谐振频率为20 609Hz。在空载声学系统的基础上增加不同长度的刀具之后得到同样的模态图，将数据进行整理之后得到图4。

由图4可知，随着刀具长度的增加，声学系统的谐振频率呈直线下降的趋势，下降率大约是15Hz/mm，而与空载相比，谐振频率下降约400～700Hz，二者的偏差很大，这与理论分析的结果相同。

图4　刀具长度与谐振频率关系图(仿真结果)

2.2带刀具负载的谐响应分析

分别对空载和带刀具载荷的声学系统进行谐响应分析。在法兰处施加位移约束。在压电陶瓷处施加位移为4μm的位移力，设置谐振频率值，并求解。

从图5可以看到，空载声学系统小端面的最大振幅约为26μm，相较于输入端的4μm，放大了6倍多，可见放大的倍数很大。将声学系统带上刀具之后进行谐响应分析，将得到的数据进行整理，得到图6。从图6可见，随着刀具长度的增加，刀尖处的输出振幅也增大，这种增长基本呈现线性增长态势，刀具长度增加20mm时，输出振幅增加约6μm。 但是，根据前面的分析，当负载阻抗越大时，输出振幅应该变小，仿真出的结果明显与理论不符。通过谐响应分析，如图7所示，可以看到刀具本身存在振幅放大的现象，说明刀具并不只是一个纯负载，其放大作用对振幅的影响比其作为一个负载的抑制作用更大，故呈现的是放大效果。

图5　空载声学系统谐响应分析

图6　刀具长度与输出振幅的关系图(仿真结果)

图7　带刀具声学系统谐响应分析

3　刀具负载对声学系统的影响实验

利用阻抗分析仪和激光位移传感器对声学系统的阻抗特性和输出振幅进行测试，实验平台组成如图8所示。图8中，换能器的谐振频率为20kHz，功率为1500W；变幅杆的大小端直径分别为62mm和17mm；激光位移传感器的采样频率最大为392kHz，采样精度为±0.02%。

图8　刀具负载实验图

3.1刀具负载对阻抗值的影响

测得的空载的声学系统的阻抗值和带刀具的声学系统阻抗值如表1所示。

表1　声学系统阻抗值　Ω

由表1可知，随着刀具负载的增大，声学系统的整体负载也增大，这与理论上的分析相同，并且阻抗值从36.596 Ω增大到332.025 Ω，可见刀具质量虽然占整体质量的比例很小，但是对声学系统的阻抗值影响巨大。

3.2刀具负载对谐振频率的影响

测得的空载的声学系统的谐振频率为22 068.8 Hz，而理论上空载声学系统的谐振频率为20 609 Hz，这种差距并不是理论或者制作出现错误，而是人为使之存在的。超声波发生器的工作频率范围从18.5 kHz到22 kHz，并且正常工作时，声学系统都是带刀具的，需要保证带刀具的声学系统谐振频率在此范围内，故在制作的时候故意将谐振频率向上偏移。

图9中虚线部分为2.1节的仿真结果，可以看出，随着刀具长度的增加，声学系统谐振频率呈下降趋势，可以看到这种趋势相对平稳，并且下降的数值并不大，刀具长度增加10 mm，谐振频率从19.6 kHz降到19.5 kHz，只下降了100 Hz，下降的趋势也是线性下降。实线部分为实际测得的谐振频率，可看出随着刀具长度的增加，声学系统的谐振频率同样呈下降趋势，但是很明显的是这种下降的趋势更大，刀具长度增加10 mm，声学系统的谐振频率下降了大约400 Hz，是理论值的4倍。理论模型是忽略其他因素的模型，而实际的声学系统受到环境﹑装配等因素的影响，刀具的负载增大会导致其他条件的改变，这些综合因素都会体现在刀具负载的增加量上。不过同样也可以看出这些因素的共同作用结果会呈现出一定的规律性。实际的声学系统谐振频率与刀具长度的关系曲线的斜率比理论分析结果更大。这也说明我们在设计刀具尺寸的时候需要考虑到综合因素。文献[6]中，刀具长度增加10 mm，变幅杆的谐振频率下降近1000 Hz，比本文中的数据大得多，说明刀具负载对声学系统的影响比对变幅杆的影响小。

3.3刀具负载对输出振幅的影响

通过激光位移传感器测得的数据如图10所示。

图10　刀具长度与输出振幅的关系(实验结果)

从图10可以看出，实际测得的数据与仿真得到的理论数据的趋势基本吻合，在数值上实验值没有理论值大。从实际的数值看，刀具的长度增加10 mm，输出振幅值增大了2 μm，可见增长很小，这么小的增幅对切削效果而言几乎可以忽略不计。由此也可以看出，刀具确实是具有放大效果，只是这种放大效果不明显。

4　结论

(1)基于一维纵振杆波动方程及压电方程，在分析变幅杆﹑压电陶瓷﹑前端盖四端网络理论模型的基础上，利用四端网络法将压电换能器﹑变幅杆和负载结合在一起，推导出了超声切割声学系统整体阻抗模型，从分析的结果看，无论负载的形式是阻值﹑抗值还是阻值加抗值，都会增加阻抗值的大小。而实验的结果很好地验证了理论分析结果，即刀具对系统阻抗的影响很大。

(2)在理论分析时，随着负载的增大，输出振幅会随之减小，但在有限元分析时得出的却是相反的结论，通过声学系统谐响应分析可以看出，刀具并不是纯粹的负载，而是存在一定的放大作用，这导致输出的振幅与理论不同，实验的结果也验证了仿真结果是正确的。

(3)通过理论分析和实验研究可知，随着刀具负载的增大，声学系统的谐振频率呈下降趋势，但实际测得的这种趋势确比仿真得到的结果更大，分析认为仿真的结果是种理想状态，忽略了很多周围的因素，故实际的影响会比理论上的影响更大，而在实际应用中需考虑这样的影响。

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(编辑卢湘帆)

Influences of Cutting Tool Load on Impedance Characteristics of Honeycomb Composite Material Ultrasonic Cutting Acoustic System

Ji HuaweiYu WenzeHu XiaopingYu Baohua

Hangzhou Dianzi University,Hangzhou，310018

The impedance characteristics of a honeycomb composite material ultrasonic cutting acoustic system varied with the cutting tool load. By combing piezoelectric transducer with horn, a hybrid design equation of the acoustic system was put forward based on four-terminal network, and the relationship between load and the impedance characteristics of acoustic system was obtained. The modal analysis and the harmonic response analysis to the acoustic system were carried on by using of the finite element software and the impedance, resonant frequency and output amplitude of the acoustic system were measured by the impedance analyzer and laser displacement sensor. Simulation and experimental results show that the impedance of the acoustic system is increased, and the resonance frequency decreases with the increase of the tool load, but the output amplitudes among theoretical analysis, simulation and experiment are different, which is due to the amplification of the tool. The study has a guiding significance for the design and applications of honeycomb composite material ultrasonic cutting acoustic system.

cutting tool load; honeycomb composite material; four-terminal network; acoustic system; impedance

2015-10-23

国家自然科学基金资助项目(51475130)；国防科工局重大专项(A3920133001)；浙江省科技计划资助项目(2016C31045)

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.18.016

纪华伟，男，1976年生。杭州电子科技大学机械工程学院副教授、博士。主要研究方向为精密定位与微纳驱动、特种加工。发表论文20余篇。虞文泽，男，1990年生。杭州电子科技大学机械工程学院硕士研究生。胡小平，女，1970年生。杭州电子科技大学机械工程学院教授、博士。于保华，男，1978年生。杭州电子科技大学机械工程学院高级实验师、博士。