张丽娇　陈　力

福州大学，福州，350108



漂浮基柔性空间机械臂的模糊H∞鲁棒控制及柔性振动最优控制

张丽娇陈力

福州大学，福州，350108

讨论了存在外界干扰情况下漂浮基柔性空间机械臂的轨迹跟踪和振动抑制问题。结合系统动量守恒关系和拉格朗日方法建立了系统动力学模型。采用奇异摄动法的双时标分解方法，将系统分解描述为关节轨迹跟踪的慢变子系统与描述柔性杆件振动的快变子系统。针对慢变子系统，设计了自适应模糊H∞控制算法，用模糊逻辑系统去逼近系统的不确定项；同时，设计了H∞鲁棒控制项，用它克服模糊逼近误差和外界干扰对输出跟踪误差的影响。针对快变子系统，采用线性二次最优控制方法主动抑制，以保证系统的稳定性。基于Lyapunov稳定性理论证明了该算法可确保控制系统是渐近稳定的。系统仿真结果说明了控制器的可靠性和有效性，所设计的控制方案使得系统的跟踪误差及柔性振动快速收敛。

漂浮基柔性空间机械臂；奇异摄动法；自适应模糊；H∞鲁棒控制

0　引言

未来空间技术的发展，对空间机械臂的要求越来越高，关于空间机械臂柔性行为(包含柔性臂等)控制的基础科学问题研究日益广泛[1-6]。未来空间机械臂柔性行为控制不仅要探索如何认识空间机械臂柔性行为的运动规律，而且还要研究如何对柔性行为施加外部影响以保证空间机械臂执行在轨操作任务按期望要求得以实现[7]。由于空间机械臂往往具有轻质、臂长、高精度、高负载等特点(导致臂杆柔性大)，因此空间机械臂的柔性是不可忽略的。目前国内有关柔性空间机械臂的控制研究主要集中在单个柔性臂系统，且系统的柔性振动会影响系统的控制精度[8-9]。在太空失重环境下，柔性空间机械臂是一个非常复杂的动力学系统，载体与臂杆的动力学耦合作用及刚性关节运动和柔性振动的相互作用，使得空间机器人系统的控制设计难于地面机器人系统[10-11]。因此，建立相应的系统动力学模型和设计高精度的控制器以有效地抑制柔性臂振动，是目前空间机械臂研究和应用必须面对和解决的重点[12-14]。

文献[15]提出了一种混合的系统，该系统结合了分数阶控制的鲁棒性和滑模控制的优势，但该控制方法未考虑外部扰动的影响。文献[16]提出了一种稳定的自适应模糊滑模控制器，用于非线性多变量系统的不可测状态，滑模变结构控制器对空间机械臂的外部扰动与未建模误差具有强鲁棒性，从而可以克服系统的不确定性。文献[17]提出了一种自适应算法，该算法具有简单性和通用性，并考虑了机械臂的参数未知等问题。但上述文献均未考虑柔性臂对空间机械臂控制的影响。文献[18]将虚拟刚性机械臂和假设运动反解相结合，设计了柔性空间机械臂模型的扩展PD控制，但该控制方法未能实现实时的振动抑制。

为了实现漂浮基柔性空间机械臂运动轨迹的渐近跟踪并抑制由柔性臂引起的系统柔性振动，利用积分流的思想建立奇异摄动模型，将系统动力学模型分解为慢变子系统和快变子系统。首先，针对慢变子系统，设计了自适应模糊H∞控制算法，通过设计模糊逻辑系统，用来逼近系统的不确定性，对不确定性进行补偿，对其参数进行自适应调节，整个闭环系统是Lyapunov意义下渐近稳定的。然后，设计鲁棒补偿项,借助H∞性能指标将逼近误差和外部干扰衰减到期望的程度。最后，针对快变子系统，采用线性二次最优控制方法主动抑制，保证系统的稳定性。

1　漂浮基柔性臂空间机械臂的动力学模型

考虑做平面运动的自由漂浮基柔性臂空间机械臂的几何模型如图1所示。其中，B0为系统的刚性载体基座，B1为系统的刚性连杆，B2为系统的柔性连杆(可视为Euler-Bernoulli悬臂梁且仅产生横向振动)，Bi-1和Bi(i=1,2)间均使用刚性旋转铰进行连接。

图1　漂浮基柔性空间机械臂系统

建立平动的惯性坐标系Oxy，各分体Bi(i=0,1,2)的主轴连体坐标系Oixiyi，O1、O2分别为相应两个转动铰的中心；x0通过O0与O1的连线，x1和x2分别是B1和B2的对称轴，ei为沿xi(i=0,1,2)轴方向的基矢量；C为系统总质心。mi、ji分别为Bi(i=0,1)的质量与中心转动惯量，B2单位长度的均匀质量密度为ρ，均匀弯曲刚度为EI；并定义q0为航天器载体姿态角，q1和q2为关节O1、O2的相对转角。

由弹性理论可知，基于假设模态变形描述法[19]，横向弹性变形v(x2,t)可描述为

(1)

其中,φi(x2)和δi(t)分别为柔性杆的第i阶模态函数及其坐标，n为截断阶数。考虑到低阶模态对杆件的弹性振动起主导效应，本文取前两个低阶模态进行研究，即

v(x2,t)=φ1(x2)δ1(t)+φ2(x2)δ2(t)

(2)

利用拉格朗日法和动量守恒关系，可导出载体位置不受控和姿态受控的柔性空间机械臂动力学方程如下：

(3)

2　控制器设计

2.1系统动力学奇异摄动分解

根据式(3)，姿态受控柔性空间机械臂的动力学模型可展开为

(4)

其中，Mrr∈R3×3，Mrf∈R3×2，Mfr∈R2×3，Mff∈R2×2，均为M∈R5×5的子矩阵；Hrr∈R3×3，Hrf∈R3×2，Hfr∈R2×3，Hff∈R2×2，均为H∈R5×5的子矩阵。

若约定

(5)

假设柔性臂刚度矩阵Kδ中的最小刚度为kδmin，并定义μ=1/kδmin，引入新的变量σ=δ/μ、Kμ=μKδ，式(4)可变换为

(6)

令μ=0并将其代入式(6)，得慢变子系统：

(7)

(8)

式中，uf为快变子系统的控制器。

通过奇异摄动法将慢变控制律us与快变子系统控制律uf结合，由于这两个子系统在时标上具有独立性，因此可分别对每个子系统进行相应控制器的设计，并最终组成系统的总控制器u，可同时使关节运动稳定追踪期望轨迹及柔性杆振动得到抑制，即设计的总控制器u可由两部分组成u=us+uf。

2.2快变子系统的控制器设计

忽略不确定部分，则快变子系统为线性系统，且完全可控。为抑制弹性振动，本节拟采用最优控制策略来对快变子系统(式(8))进行控制。为此，定义系统性能指标函数为

(9)

其中，Rf∈R3×3和Qf∈R4×4分别为正定、半正定常值矩阵。

设Pf为如下Ricatti方程的唯一解：

(10)

则快变最优控制律可定义为

(11)

2.3慢变子系统的控制器设计

假设式(3)有相对度向量，并且零动态具有指数吸引性质。

(12)

设系统的位置和速度是完全可测的，设计一个鲁棒自适应模糊控制器和可调参数的自适应律，使得整个闭环系统趋于稳定，式(12)可表示为

(13)

Δ(x,us)=

控制目标是利用模糊逻辑系统设计自适应控制律，满足：①系统中所涉及的变量有界；②跟踪误差e取得H∞跟踪性能，即

慢变子系统的控制器为

(14)

uλ=-λ-1BTPe

(15)

另外

(16)

其中，Kσ1、Kσ2的选取满足Hurwitz多项式。

设模糊逻辑系统为

(17)

(18)

式中，θ为可调参数;ξi(xi)为模糊基函数。

确定抑制水平β>0，且满足条件2β2≥λ，P是满足下面黎卡提方程解的一个正定矩阵：

PA+ATP+Q-2λ-1PBBTP+β-2PBBTP=0

(19)

其中，ai(i=1,2,…,6)的选取使得矩阵A的特征根都在左半开平面内。

2.4模糊自适应算法

定义参数向量θ的最优参数为θ*，则

式中，Ω为适当的包含θ的有界集；Uc为紧集，Uc∈Rn。

为了便于分析，将控制量代入式(13)中，得到误差方程形式如下：

(20)

(21)

取参数向量θ的调节律为

(22)

式中，Pr(·)为投影算子。

考虑式(3)的控制对象，取控制律us为式(14)，则设计的控制方案保证如下的性能：

(1)q∈Ω,x、e、us∈L∞,L∞为H∞跟踪性能下的一个指标。

(2)对于给定的抑制水平β，跟踪误差达到H∞跟踪性能指标。

证明取Lyapunov函数为

求V对时间的导数得

由式(15)可得

根据黎卡提方程(式(19))及参数向量θ的自适应律(式(21))，可得

(23)

对式(23)从0～X积分得

(24)

由于V(X)≥0，所以由式(24)得

即跟踪误差取得H∞控制性能指标。

3　仿真算例与分析

为验证上述控制算法的有效性，对图1所示的柔性空间机械臂进行动力学数值模拟仿真。利用快变子控制器uf和关节运动慢变子控制器us对系统进行仿真分析。选取系统惯性参数的真实值为m0=200 kg，m1=2 kg，m2=1 kg，l0=1.5 m，l1=l2=3 m，j0=70 kg·m2，j1=1.5 kg·m2。仿真过程中柔性杆B2单位长度的均匀质量密度取ρ=1.0 kg/m，均匀弯曲刚度取EI=20 N·m2。同时，控制器相关参数选取为η=0.1，λ=0.005，β=0.05，Qf=10diag(1，1，1，1)，Rδ=100diag(1，1，1)。

假定两柔性杆空间机械臂系统各连杆关节在关节空间的期望运动轨迹分别为

且系统初始运动位置为

q0(0)=1.68 radq1(0)=1.25 rad

q2(0)=1.25 rad

确定外部干扰为

ud=0.1(sin10t,-cos10t,sin10t)

系统的柔性杆B2被视为Euler-Bernoulli悬臂梁，其模态函数φi(x2)取为

φi(x2)=(cos(υix2)-cosh(υix2))+

Ai(sin(υix2)-sinh(υix2))

Ai=-(cosγi+coshγi)/(sinγi+sinhγi)

υi=γi/l2(i=1,2)γ1=1.8751γ2=4.6941

利用本文所设计的自适应模糊鲁棒H∞控制算法对漂浮基柔性空间机械臂进行计算机模拟仿真运算。仿真结果如图2～图5所示。图2是当Kσ1=diag(6,6,6)和Kσ2=diag(9.5,9.5,9.5)(条件1)时，空间机械臂载体姿态、关节角度跟踪误差图；图3是当Kσ1=diag(12,12,12)和Kσ2=diag(36,36,36)(条件2)时，空间机械臂载体姿态、关节角度跟踪误差图；图4为在开启(实线)和关闭(虚线)快变子系统情况下，柔性臂的一阶模态坐标对比图；图5为在开启(实线)和关闭(虚线)快变子系统情况下，柔性臂的二阶模态坐标对比图；仿真过程全部耗时t=30 s。

图2　载体姿态、关节角度跟踪误差图(条件1下)

图3　载体姿态、关节角度跟踪误差图(条件2下)

图4　柔性杆的一阶模态

图5　柔性杆的二阶模态

从图2可以看出，条件1下，空间机械臂载体姿态、机械臂关节角度跟踪误差在t=25 s时基本收敛到零；从图3可以看出，条件2下，空间机械臂载体姿态、机械臂关节角度跟踪误差在t=15 s时基本收敛到零。在收敛过程中控制器的控制增益系数对系统跟踪误差收敛速度有决定性影响；即可以通过调节控制增益系数Kσ1和Kσ2的大小来调整系统跟踪误差收敛速度的快慢。如通过增大Kσ1和Kσ2值，可以使得所设计控制算法的收敛速度加快、收敛时间缩短；反之亦然。虽然增大控制增益系数可以加快系统跟踪误差的收敛速度，然而也加大了关节电机的输出功率或力矩，有时会造成电机输出功率饱和反而影响控制效果；因此实际应用中会根据需要适当选择控制增益系数Kσ1和Kσ2的大小。

仿真结果表明，本文所设计的控制算法能够稳定地跟踪期望运动轨迹，系统的柔性振动得到了有效的抑制。通过开启与关闭快变子系统抑振控制的对比图可以看出，开启快变子系统抑振控制使得跟踪误差及柔性振动较快收敛到零。

4　结语

本文讨论了考虑外部干扰，且载体位置不受控和姿态受控的情况下，漂浮基柔性空间机械臂关节运动的控制问题。利用积分流的思想建立奇异摄动模型，提出了由慢变子系统的自适应模糊鲁棒H∞控制和快变子系统的线性二次最优控制组成的复合控制器。仿真实验结果证实了本文所设计的自适应模糊鲁棒控制算法的有效性，并验证了所设计的控制算法能抑制不确定外部干扰给系统带来的影响，并能达到预期H∞跟踪性能。

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(编辑王艳丽)

Fuzzy RobustH∞Control and Flexible Vibration Optimal Control for Free-floating Flexible Space Manipulator

Zhang LijiaoChen Li

Fuzhou University,Fuzhou,350108

The trajectory tracking and vibration suppression control for free-floating flexible space manipulator with disturbance were discussed. With the momentum conservation relations, system dynamics model was set up by the Lagrange method. Using the two-time scale decomposition of singular perturbation method, and the system was decomposed into a slow subsystem which was described joint trajectory tracking and a fast subsystem which was described the vibration of flexible manipulator. Then a composite controller consisting of a slow control component and a fast control component was proposed. For the slow subsystem, adaptive fuzzyH∞control algorithm was designed, the fuzzy logic system was used to approximate the system uncertainty, and a robustH∞control was used to overcome the fuzzy approximation errors and eliminate the influences of the external disturbance on the output tracking errors. For the fast subsystem, optimal linear quadratic regulator(LQR) was designed to damp out the vibration of the flexible links. Based on Lyapunov stability theory, it is proved that this algorithm can ensure the control system is asymptotically stable. Numerical simulation results illustrate that the proposed controller is reliable and effective, this control scheme makes the tracking errors of the system and the flexible vibrations quickly convergence.

free-floating flexible space manipulator; singular perturbation method; adaptive fuzzy;H∞robust control

2015-11-17

国家自然科学基金资助项目(11372073，11072061)；福建省工业机器人基础部件技术重大研发平台(2014H21010011)

TP241

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.18.006

张丽娇，女，1989年生。福州大学机械工程及自动化学院博士研究生。主要研究方向为空间机器人动力学建模与控制。陈力，男，1961年生。福州大学机械工程及自动化学院教授、博士研究生导师。