陈仕洲

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州　521041）

一类具有奇性p-Laplacian-Rayleigh方程的周期正解

陈仕洲

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041）

利用重合度理论，研究一类具有奇性的p-Laplacian-Rayleigh方程，获得其周期正解存在性新的充分条件，推广和改进了已有文献中的相关结论.

p-Laplacian-Rayleigh方程；周期正解；奇性；重合度理论

1　引言及引理

在动力系统研究中，具有奇性的微分方程周期正解的存在问题已受到人们极大的关注［1-10］，例如起源于电子学理论中的电子束Brillouin聚焦问题可转化为研究微分方程

周期正解的存在性［1-2］.文［3］和［4］分别研究了微分方程

文［3］在下列条件（H1）-（H5）下证明了方程（2）存在一个正周期解：

（H1）存在常数0＜d1＜d2,s.t.如果x是方程（2）正的连续T周期解，且满足

周期正解的存在问题，完善、改进和推广了文［3］、［4］等的结果.文［6-7］分别研究了具有奇性的Rayleigh方程

周期正解的存在问题.本文将研究一类较广泛的既含有奇点又含有时滞的p-Laplacian-Rayleigh方程

对于周期边值问题

其中f*：［0, T］×R×R→R是Caratheodory函数.

引理1［8］（Manasevich-Mawhin）设是有界开集.若下列条件成立

（1）∀λ∈（0,1）,边值问题

在∂Ω无解；

（2）方程

在∂Ω⋂R无解.

（3）deg｛F,Ω⋂R,0｝≠0.

引理2［9］设

引理3［10］设x∈C1（R,R）,x（t+T）≡x（t）,且∃ξ∈［0, T］,|x（ξ）|≤d，则

2　主要结论

定理1设条件

（A1）存在常数0＜d1＜d2使得：.则是 Lp-Caratheodory函数，即g1对第一变元是可测的，对第二变元是连续的，且

被满足，则方程（7）存在一个正的T-周期解.

证明考虑（7）的同伦方程

我们断定

由（10）-（12）得

由（A1），x（t1-σ）≤d2,x（t2-σ）≥d1.从而易知

由引理2得

由方程（10）两边同乘以x（t），并在区间［0, T］上积分即得

当p=2时，由（A5）知

对此ε,∃gε∈Lp（0,T）,s.t.（8）成立.注意到x（t）＞0,t∈［0, T］,有

由（14）和（16）得

由（A5）、（15）、（17）和（18）知，不论p=2还是

再由引理2得

由于x（0）=x（T），知∃t0∈［0, T］,s.t.x'（t0）=0.于是

其中

将（10）积分可得

即

另一方面，由……