陈克恭，马如云，孙小春

(1.西北师范大学地理与环境科学学院，甘肃兰州　730070；2.西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州　730070)



勾股定理与太极图的内在联系

陈克恭1，马如云2，孙小春2

(1.西北师范大学地理与环境科学学院，甘肃兰州730070；2.西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070)

《易经》和太极文化博大精深、源远流长，然而其表达方式有别于西方逻辑思维，尤其是太极图缺少一个可以被连续方程所刻画的标准图，致使其作为中国传统文化根基的科学性不足，影响了中国传统文化的文化自信.本文从勾股定理(毕达哥拉斯定理)入手，通过单位正方形的内切圆，巧妙地应用了杠杆平衡原理(阿基米德定理)和模糊数学的核心思想，用一个代数方程精确地刻画了太极图的S曲线，不仅论证了中国太极图的科学性，也揭示了太极图反映事物存在的本根依据.

易经；太极图；勾股定理；代数方程

1　勾股定理的哲学内涵

众所周知，“直角三角形的两个直角边平方之和等于斜边的平方”，这在中国称为勾股定理，在西方称为毕达哥拉斯定理，其数学模型是

(1)

其中a,b,c分别是直角三角形的两条直角边和斜边，见图1(a).关于勾股定理的证明方法已有很多，其中之一就是东汉末年赵爽著《周髀算经》时说的“勾股各自乘，并之为玄实.开方除之，即玄.”赵爽依此还创造了“勾股圆方图”，如图1(b)所示.

(a)勾股定理

(b)勾股圆方图

若用x和y分别表示两条直角边与斜边所对应正方形面积的商值，并定义x和y分别为这个三角形的阳值和阴值(图2)，即令

则有

(2)

因为a,b∈(0,c)，所以x,y∈(0,1).借助三角函数，x,y也可以表述为

(3)

图2　直角三角形中阳值与阴值的关系

其几何表述见图3，其中α是边a的对角.

(a)阳值和阴值

(b)阳值曲线

如果说(1)式和图1是欧几里得几何的基石，那么图2和(2)式则提出了模糊集合的概念，开启了现代数学的发展之路.把它们联系起来，则有如下概念：

(1)式和(2)式的本质内涵是指一个单位直角三角形的斜边所对应的面积恒等于两个直角边所对应的面积之和.这一点可以用绿洲和沙漠的面积关系来形象说明，我们选取甘肃张掖为典型个案，若把张掖这个城市的总面积看作一个单位面积“1”，那么，绿洲面积和沙漠面积之和则恒等于“1”(因为在张掖这个特定的城市，有水即为绿洲，无水则为沙漠，但沙漠面积和绿洲面积之和总不会变[1]);当绿洲面积变大时，沙漠面积就会变小，反之亦然，而这个此消彼长的点的集合就是圆的轨迹.

又因为

x=1-y,y=1-x,

所以阳函数和阴函数保持偶对平衡，像量子纠缠一样，相互纠缠、相互叠加，总值恒等于“1”，即绿洲面积是关于沙漠面积的偏差值，而沙漠面积是关于绿洲面积的偏差值，它们的偏差值之和恒等于“1”.然而，张掖的大部分区域绝非百分之百的沙漠，也绝非百分之百的绿洲，他们大多是在绿洲和沙漠之间，就像是在x+y=1这条线段上的点一样，总处于[0，1]这个区间内，所不同的是相对于某一个平衡值而言，是更靠左一点，还是更靠右一点，是绿洲属性更强一点，还是沙漠属性更强一点[2,3].对于一个系统，我们完全可以在某一单纯属性上，就两个相反相成的状态进行集合分类，就像土壤的含水量可以分为干和湿两个相反相成的集合，经济运行状态也可以分为积累和消费两个相反相成的集合.总之，就像我们对待一切事物的主观态度一样，都可以用某一个客观平衡值将事物分为正和反、白和黑,甚至是好和坏两个相反相成的集合.尽管如此，但事物状态的真实存在大多是在黑白的区间内，不是非白即黑，而是亦白亦黑.这正是中国传统文化中“阴阳消长、此消彼长，一阴一阳谓之道，道生一、一生二、二生三、三生万物”的思想，也是马克思辩证唯物主义“一分为二”的思想.

2　勾股定理与太极图的内在联系

(4)

设C(x,y1),D(x,y2)，则C,D满足圆方程：

其中

代入(4)式得中国太极图S曲线标准方程为

(5)

图4(b)中的S曲线逆时针旋转90°即得中国太极阴阳标准图(图5).

(a)单位正方形内切圆

(b)S曲线

(4)式说明了圆和正方形之间的关系，即尽管两个系统不同，但它们的变化规律相同，即阴阳值的比值相等，犹如对一个特定的杠杆，尽管左右两边力臂长短不同，受力大小不同，但距离和重物两个系统之间始终围绕着一个平衡点保持着一个新系统的平衡，这既是阿基米德的杠杆原理(图6)，也是杆秤称重物的原理.对此，我国先秦时期的墨子早在《墨经》中已有详细论述.

图5　中国太极阴阳标准图

(阴阳面积之和为1，阴阳反向值之和为1)

Fig 5The standard Chinese diagram of the universe

图6　杠杆原理

3　中国太极图的“玄”意

世界犹如一个直角三角形，有一个相反相成的属性，像量子纠缠一样，相互叠加、偶对平衡于一个事物之中；这个相反相成的属性又犹如两个直角边所代表的面积一样，此消彼长、偶对平衡，但都始终恒等于“1”.从这个角度讲，中国太极图及太极文化全部思想的核心就是偶对平衡，就是关于“存在者之存在”的几何表达，是对“存在”之根据的表述，是“being of beings”中的“being”，是“一即一切”中的“一”，它源于勾股定理，却早已超越了勾股定理，不仅表达了欧拉公式的思想(eiπ+1=0，“至阳1”旋转π=180°得到“至阴-1”；eiθ·e-iθ=(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)=cos2θ+sin2θ=1隐含了实部的平方加虚部的平方等于模的平方的复数概念)，也表达了现代数学模糊集合的重要思想.如此看来，“勾股各自乘，并之为玄实.开方除之，即玄”中的“玄”其实并不“玄”，是因我们不解，而赋予了“玄”这个字太多的弦外之音.

[1]陈克恭．“转型”张掖——生态经济之路[M].兰州：甘肃文化出版社，2012．

[2]陈克恭，马如云．中国太极图理论的数学模型及应用[J].西北师范大学学报(自然科学版)，2015，51(5)：1．

[3]陈克恭，马如云．中国太极图理论的数学模型及应用(Ⅱ)[J].西北师范大学学报(自然科学版)，2015，51(6)：1．

(责任编辑马宇鸿)

The intrinsic relation between the Pythagorean theorems and the Chinese diagram of the universe

CHEN Ke-gong1,MA Ru-yun2,SUN Xiao-chun2

(1.College of Geography and Environmental Science,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China;2.College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

The I Ching(The book of change) and Chinese Taiji culture with long history are extensive and profound.However,because their expression are different from the logical thinking of western man,especially there is no one standard graph characterized by the function to the Chinese diagram of the universe,these lead to the lack of science as the foundation of Chinese traditional culture,and influence cultural self-confidence of Chinese traditional culture.This paper accurately characterizes the sigmoid curve to the Chinese diagram of the universe by a function expression based on the Archimedes's principle and the core idea of fuzzy mathematics.The inscribed circle of the unit square plays a very important role during the process.The results express not only the scientificity of the Chinese diagram of the universe,but also the original basis of there is something that is reflected by the Chinese diagram of the universe.

I Ching;the Chinese diagram of the universe;the Pythagorean theorem;algebraic equation

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.001

2016-08-15

陈克恭(1961—)，男，甘肃兰州人，研究员，博士研究生导师，西北师范大学党委书记.主要研究方向为环境生态学.E-mail:chenkg@nwnu.edu.cn

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1001-988Ⅹ(2016)05-0001-04