赵慧珂　周栗仙　杨红　周丽

【摘 要】本文在实物长度、地理位置、时间已知的前提下，研究物体影长的变化规律。根据太阳的变化规律，通过中间变量太阳高度角、赤纬角和时角确立影长模型，运用单因素控制变量法分析影长关于各个参数的变化规律。从而为太阳影子定位技术等提供了理论依据。

【关键词】太阳影长；太阳高度角；Matlab软件

Study on Parameter Model of The Suns Shadow Length

ZHAO Hui-ke ZHOU Li-xian YANG Hong ZHOU Li

（College of Science， Hunan Agriculture University， Changsha Hunan 410128， China）

【Abstract】In physical length， location， time， under the premise of known， studies the changing rule of the length of the shadow. According to the principle of trigonometric functions， intermediate variable Angle of the sun， the shadow length model established declination Angle and the Angle， and using the method of single factor control variable analysis shadow length about the change rule of each parameter. As the sun shadow positioning technology and provides a theoretical basis.

【Key words】The length of the shadow； Trigonometric function； Matlab

“日长影移”是人人熟知的自然现象，这个词说明太阳影子变化与太阳的活动有着密切的联系。我们的祖先利用这个现象制作的日晷，是当时最早且最精确的计时工具之一。理论研究中，太阳影子与直杆所处的位置、给定的时间和杆长都有密切联系，我们通过太阳高度角、赤纬角和时角确立影长模型，并分析影长与各参数的变化规律。这正是通过太阳光影变换获得时间和地理信息的关键。

1 建立影长的数学模型

1.1 背景知识

可见，影长与当地经纬度P（φ，Φ）、直杆高度H、当地时间T（t，n）有关。

2 实例应用

2.1 应用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9：00-15：00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

应用我们建立的模型用Matlab进行编程，绘制成图像如图1。

图1

影长的变化曲线类似于凹抛物线，最短影长时刻为12：12分左右，影长为3.84米。结果显然是符合常理的。由于北京时间指东经120度（即东八区区时），其最短影长出现在正午12点，而天安门广场处于东经116度，故最短影长应出现在北京时间12点以后。

2.2 影长随各参数的变化规律

分析影长关于各个参数的变化规律，运用控制变量法分析某个参数对其影响，并用Matlab软件进行编程求解得如下结果：

1）杆长参数H

2）纬度参数Φ

在回归线至极圈范围内，即图中的纬度[0°，90°]内，曲线随纬度的增加总趋势是增加的。由于纬度的升高，太阳高度角变小，从而影长变长。如图2。

图2 影长随纬度的变化曲线

3）日期参数n

符合客观规律，结合地理知识中二十四节气可知，12月22日到6月22日，在太阳直射点向北移动的过程中，北回归线及其以北各地的正午太阳高度角逐渐增大，那么日影逐渐缩短；6月22日左右，太阳直射北回归线，北回归线及其以北各地的正午太阳高度角达到全年最大，影长为全年最短；6月22日到12月22日左右，太阳直射点向南移动过程中，北回归线及其以北各地的正午太阳高度角逐渐变小，那么日影逐渐增大。如图3。

3 模型修正

由于以上太阳高度角、太阳赤纬角、太阳方位角和时角都是根据经验公式和假定条件成立的前提下得到的，会存在一定的计算误差，可以用误差公式观察每个参数对影长的影响程度，进行单因素敏感度分析，使模型精度更高。

绝对误差公式：

4 结束语

通过中间变量太阳高度角、赤纬角、时角建立影长模型，分析得出影长与当地经纬度P（φ，Φ）、时间T（t，n）、杆长H有关，运用控制变量法得出：影长对日期和时刻都呈现先减小，后增大的趋势；对杆长呈正比关系；对纬度呈上升趋势，且增长速率递增。影长的轨迹模型及其相关领域具有较高的研究价值，为太阳影子定位技术确定地点和日期提供了理论依据。事实上还可以利用影子轨迹的数学模型反求建筑物朝向、合理间距、采光效果等问题，这为房屋的设计提供了理论基础。

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