杨靛青,李登峰*

(福州大学经济与管理学院,福建福州 350108)

模糊联盟合作对策τ值及其计算方法

杨靛青,李登峰*

(福州大学经济与管理学院,福建福州 350108)

针对现实合作中存在模糊联盟的情况,利用Choquet积分定义了模糊联盟合作对策τ值,证明了其存在性、唯一性和其他重要性质,讨论了其和模糊核心的关系,并给出凸模糊联盟合作对策τ值的计算公式.最后通过一个算例说明该τ值的有效性与合理性.研究发现,基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值是对清晰联盟合作对策τ值的扩展,而清晰联盟合作对策τ值仅是其特例.特别地,对于凸模糊联盟合作对策,其τ值计算过程可以简化.

模糊联盟合作对策;Choquet积分;τ值;对策论;模糊集

1　引　言

τ值、Shapley值[1]和Banzhaf值[2]等都是常见的合作对策单值解.1981年,Tijs[3]用几何方法首次提出了拟均衡合作对策τ值,并证明了它与核心有密切的关系;Driessen[4]引入分歧函数,给出了拟均衡对策τ值的精确表达式,并讨论了其具有有效性、个体合理性等性质和公理化方法,从而说明了τ值作为分配方案时的公平合理性;Bilbao等[5]研究了拟阵合作对策下τ值的计算方法和性质;Casas-mendez等[6]利用Owen联盟结构的思想,提出了具有联盟结构的合作对策τ值,对τ值进行公理化刻画并讨论了其在破产对策、机场对策等方面的应用;安世虎[7]考虑合作对策中联盟结构受到限制的情况,构造了准拟阵合作对策τ值,并将该方法与拟阵合作对策Shapley值进行比较;侯东爽等[8]定义了广义特征函数下合作对策τ值,利用概率有效性、S均衡下的相对不变性和限制成比例性证明了τ值存在的唯一性,并讨论了核心和τ值的关系.以上关于τ值的讨论主要集中在经典合作对策上,可以处理在清晰联盟条件下的合作利益分配问题.但现实中,由于环境变动、可调配资源不确定等因素,局中人可能以模糊联盟的形式参与合作,如何利用τ值理论方法处理这种模糊联盟合作利益分配问题,显然不同于清晰联盟合作对策的情况,因此有必要对模糊联盟合作对策τ值的计算方法和性质进行研究.

模糊联盟合作对策研究关注的重要问题之一是如何描述不同模糊联盟的合作支付函数.目前,该研究的重要分支就是利用Choquet积分方法对清晰联盟合作对策下的支付函数进行模糊拓展,并提出基于Choquet积分的模糊联盟合作对策分配方案.Tsurumi等[9]较早引入Choquet积分方法,提出了模糊联盟合作对策Shapley值,这类函数具有单调性、连续性等一些良好性质;谭春桥等[10,11]提出了基于Choquet积分的合作对策模糊延拓方法,讨论了这种模糊延拓的性质,研究了其与经典合作对策Shapley值、核心的关系;在此基础上,谭春桥[12]进一步对基于Choquet延拓的区间模糊联盟合作对策Shapley值进行了研究,证明了该Shapley值的存在性,并给出Shapley值的解释表达式;Li等[13]通过和文献[9]的计算方法进行比较分析,给出了模糊联盟合作对策Shapley值的一种简单表示方式;孟凡永等[14]提出了基于Choquet积分的模糊联盟合作对策Banzhaf值,讨论了此类对策Banzhaf值的性质和公理化方法.从文献上看,基于Choquet积分的模糊联盟合作对策Shapley值、Banzhaf值都有深入研究,成果较多,理论体系较完善,但对基于Choquet积分的模糊合作对策τ值的研究则鲜有报道.

为此,本文在前人研究的基础上探讨了基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值的计算方法和性质,利用Choquet积分方法,定义基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值,讨论此类合作对策τ值的存在性和唯一性,研究此类τ值的相关性质并证明其和模糊核心的关系.特别针对凸模糊联盟合作对策,简化了其τ值计算公式.最后通过一个合作生产的实例来说明基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值的合理性和有效性.研究结果表明,基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值将合作对策τ值的应用范围从{0,1}n清晰联盟拓展到[0,1]n模糊联盟.该τ值是清晰联盟合作对策τ值的一般化表示形式,其满足的性质延续了清晰联盟合作对策τ值的性质,进一步说明它是清晰模糊合作对策τ值的模糊拓展,而清晰联盟合作对策τ值是其特例.基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值为解决在模糊环境下局中人合作利益分配问题提供了一种新方法.

2　清晰联盟合作对策τ值的定义及性质

清晰联盟合作对策可表示为一个序对＜ N,v＞,其中N={1,2,...,n}为局中人集合,v为清晰联盟合作对策的支付函数,即v:N → R且满足v(Ø)=0.记G(N)为清晰联盟合作对策的集合. 记M(v)=(M1(v),M2(v),...,Mn(v))为合作对策v的上值向量,每个分量满足Mi(v)=v(N)-v(N{i}). Mi(v)可视为局中人i可期望得到的最大支付.m(v)=(m1(v),m2(v),...,mn(v))为合作对策v的下值向量,每个分量满足,其中S⊆NØ.mi(v)可视为局中人i可期望得到的最小支付.为方便起见,将N{i}简写成Ni,v({i})简写成v(i),v(S∪{i})简写成v(S∪i).

定义2若v∈Gqb(N),则

清晰联盟合作对策τ值是一个函数τ:Gqb(N)→Rn,满足下列性质[4]:

2)个体合理性:对于任意i∈N,有τi≥v(i);

3)对称性:设π是N的一个排列,对于任意i∈N,有τπ(i)=τi;

4)哑元性:设S⊂Ni,若v(i)=v(S∪i)-v(S),则τi=v(i);

5)替换性:对于任意i,j∈N与联盟S⊆N{i,j},若v(S∪i)=v(S∪j),则τi=τj;

6)策略等价下的共变性:设v∈Gqb,若存在一个对策w满足条件:当a＞0和d∈Rn时,对任意S⊆N都有

7)限制成比例性:若M(v)=λv,则τ和M(v)成比例.

3　基于Choquet积分的模糊联盟合作对策

模糊联盟合作对策可表示为一个序对＜Fn,v′＞,其中N={1,2,...,n}为局中人集合,Fn用于表示局中人集合N上的模糊联盟集合[0,1]n,v′为n人模糊联盟合作对策的支付函数,即v′:Fn→R.记G0(N)为模糊联盟合作对策的集合.用eø=(0,0,...,0)表示空联盟,eS=(s1,s2,...,sn)满足当i∈S⊆N时, si=1,否则si=0,这样eS表示:S集合中的局中人完全参与联盟,NS集合中的局中人完全不参与联盟. eN=(1,1,...,1)表示大联盟,e{i}表示局中人单干形式,简写成表示为局中人集合N上的模糊联盟,si∈[0,1]表示模糊联盟中局中人i的参与水平,模糊联盟也可表示为当T⊆N时,.将简写成.实值支付函数表示为模糊联盟合作时可期望获取的支付,满足v′(eø)=0.当si只取1时,模糊联盟就退化为清晰联盟,相应的模糊联盟合作对策就退化为清晰联盟合作对策.因此,模糊联盟合作对策是清晰联盟合作对策的扩展,而清晰联盟合作对策是模糊联盟合作对策的特例.

定义3设v′∈G0(N).如果对任意S1,S2∈Fn,有

则称v′是凸的(超模),记凸模糊联盟合作对策的集合为FGcov(N).注意当si只取1时,则v′退化成(清晰联盟)凸合作对策,记Gcov(N)为凸合作对策的集合.

定义4对于非空集M上所有有界非负可测函数f:M→R+,函数f关于v的Choquet积分定义[11]为

其中Fα={x|f(x)≥α}(α∈[0,∞))为函数f的α截集.

若非空集合M={x1,x2,...,xm},则函数f可以表示成离散形式f(x1),f(x2),...,f(xm),将它们按照单调不减次序可排列为

其中{x*1,x*2,...,x*m}为非空集合M中的元素{x1,x2,...,xm}依据上述单调不减排列的重排形式.于是, Choquet积分可简化表示为

其中f(x*0)=0.

从定义5看,清晰联盟合作对策v与关于v基于Choquet积分的模糊联盟合作对策v′之间存在一一对应关系,而且如果v∈G(N)是单调、连续且凸的,则对应的v′也是单调、连续且凸的[9].

4　基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值的计算方法

Mi(v′)是局中人i在模糊联盟中所能获取的理想支付.如果局中人i想从模糊联盟中获得更多支付,则其他局中人会将其驱逐出模糊联盟.所以,Mi(v′)是局中人i在模糊联盟合作对策v′中所能获得支付的上界. M(v′)=(M1(v′),M2(v′),...,Mn(v′))∈Rn称为模糊联盟合作对策v′的上值向量.根据定义5,有

令T⊆N且i∈T.模糊联盟S′T中局中人i的剩余支付R(S′T,i)可表示为

R(S′T,i)表示模糊联盟S′T中除局中人i之外其他局中人都获得可期望得到的最大支付时,局中人i所能得到的剩余支付.模糊联盟合作对策v′下值向量m(v′)的第i个分量mi(v′)可表示为

它可看作是局中人i的最小合理支付,表示在模糊联盟S′T中其他局中人获取到各自理想支付的同时,局中人i可以获取到尽可能多的剩余支付.

定义6设v′∈Gc(N).对任意则称v′是拟均衡模糊联盟合作对策.

用Gfqb(N)表示拟均衡模糊联盟合作对策的集合.注意当si只取1时,拟均衡模糊联盟合作对策v′退化成拟均衡合作对策v.

定理1若v∈Gcov(N),则其对应的v′∈Gc(N)有v′∈Gfqb(N).

证明由于v∈Gcov(N),关于v基于Choquet积分的模糊联盟合作对策v′∈FGcov(N),则v′是均衡的[15].于是,对任意S′N∈Fn,至少存在一组向量x满足且对任意T⊂N有因此,对任意i∈N,有

考虑上述关系,对任意T⊆N且i∈T,有

定义7设v′∈Gc(N)和给定.如果函数fgv′:Fn→R,满足对任意T⊆N,有

则称fgv′为基于Choquet积分的模糊联盟合作对策v′的分歧函数.

定义8设v′∈Gc(N)和给定.如果向量λv′∈Rn的每一个分量满足

则称λv′为基于Choquet积分的模糊联盟合作对策v′的特许向量.

定理2若v∈Gcov(N),给定,其对应的v′∈Gc(N),满足对任意i∈N,有

证明因v∈Gcov(N),则有v′∈FGcov(N).对任意T⊆Ni,根据定义3有

根据定义7,有fgv′(S′T)≤fgv′(S′T∪i),因此对任意T⊆N且i∈T,有

根据定义8,有

定义9设v′∈Gfqb(N),给定,则

称τ(v′)为基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值.

证明因为v∈Gcov(N),根据定理1,有v′∈Gfqb.依据定义9,对任意i∈N有

又根据定理2,则任意i∈N有

则对任意i∈N有

定理3利用凸模糊联盟合作对策的特点直接计算出特许向量,无需进行多次计算和比较,因此为计算凸模糊联盟合作对策τ值提供了简便的方法.

下面给出基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值的计算步骤:

步骤1 判断基于Choquet积分的模糊联盟合作对策是否是凸的.若是凸的,则进入步骤2;若不是凸的,则进入步骤3.

步骤2根据定理3的τ值计算公式进行计算.

步骤3根据定义6,判断基于Choquet积分的模糊联盟合作对策是否满足拟均衡条件.

步骤4若该对策满足拟均衡条件,则根据定义9的τ值计算公式进行计算.

下面用一个算例来说明基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值的计算过程.

设N={1,2,3}和v∈G(N).其中v(i)=0(任意i∈N),v({1,2})=v({1,3})=2,v({2,3})=3, v({1,2,3})=4.当时,基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值计算过程如下:

2)判断v′是否满足拟均衡性.根据Mi(v′)的定义,得

根据mi(v′)的定义,得

3)计算τ值.根据定义8,得

根据定义9,得

5　基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值的性质

定理4基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值满足有效性、个体合理性、对称性、哑元性、替换性、策略等价下的共变性、限制成比例性等性质.

2)因v′∈Gfqb(N),由定义6可知,有.根据fgv′和λv′的定义,有

5)对于任意i,j∈N与T⊆N{i,j},若v′(S′T∪i)=v′(S′T∪j),则

根据定义7,对任意T⊆N,有

7)限制成比例的证明显然.证毕.

需要注意的是,当si只取1时,模糊联盟就退化为清晰联盟,相应的基于Choquet积分的模糊联盟合作对策v′就退化为清晰合作联盟对策v.对应的基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值退化成清晰联盟合作对策τ值,其满足的性质对应地退化成清晰联盟合作对策τ值满足的性质.显然,基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值是对清晰联盟合作对策τ值的扩展,清晰联盟合作对策τ值是基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值的特例.

定理5基于Choquet积分模糊联盟合作对策的解如果满足有效性、策略等价下的共变性和限制成比例性,则这个解是唯一的且这个解就是τ值.

证明必要性.由定理4可知,基于Choquet积分的模糊联盟合作对策τ值满足有效性、策略等价下的共变性和限制成比例性.

充分性.假设存在一个解φ满足以上三个性质,则只需证明φ(v′)=τ(v′)即可.令v′∈Gc(N),定义向量d=M(v′)-λv′和合作对策w∈Gc(N)满足:对任意T⊆N,有

由于φ和τ均具有策略等价下的共变性,因此

为了证明φ(v′)=τ(v′),只需证明φ(w)=τ(w).

由于对任意i∈N,有

又有

则

又由于φ和τ均具有限制成比例性,则φ(w)与τ(w)均和M(w)成正比.因此存在实数α和β使得

定义10设v′∈Gc(N)和.v′的模糊核心可表示为

模糊核心是所有局中人都能接受的分配方案组成的集合,这是因为任意模糊子联盟中所有局中人所获得的支付之和都不少于其联盟所得的支付.

定理6设v′∈Gfqb(N)和,且满足的条件为

其中T⊂N,fgv′(S′T)＞0且2≤|T|≤n-2.

证明令x=τ(v′),根据τ值的定义和有效性可知,对任意i∈N,有Mi(v′)-λv′i≤ xi≤ Mi(v′) 且.则有

6　案例分析

假设有A、B、C、D、E五家企业集合为N={1,2,3,4,5},他们完全参与到一个生产合作项目当中.若五家企业单独工作,当i∈{1,2,3,4}时,v(i)=10,而v(5)=20;当|S|=2且S⊂{1,2,3,4}时,v(S)=30,其他v(S)=50;当|S|=3且S⊂{1,2,3,4},v(S)=80,其他v(S)=100;当|S|=4且5∈S时,v(S)=200,其他v(S)=150;v(N)=320.根据定义1与2计算出经典清晰联盟合作对策τ值,如表1所示.

表1　清晰联盟合作对策的特许值、上值和τ值Table 1 The concession values,the upper values and τ-values of the crisp cooperative game

若生产合作项目中A、D企业只投入其50%企业资源,而B、C和E企业分别投入其40%、30%和20%的企业资源,这样A、B、C、D、E五家企业在该合作项目中的参与度分别是50%、40%、30%、50%和20%,即s1=0.5,s2=0.4,s3=0.3,s4=0.5,s5=0.2,可表示为模糊联盟S′N=(0.5,0.4,0.3,0.5,0.2).很显然,这里描述的清晰联盟合作对策v是凸的,其基于Choquet积分的模糊联盟合作对策v′也是凸的.因此,根据定理2和定理3,计算τ值只需利用定义5计算以下部分模糊联盟形式下的支付值,如表2所示.

表2　部分模糊联盟形式下的支付值Table 2 The payoffs of some fuzzy coalitions

根据定理2、定理3及定义8,可以计算出相应的分配方案,计算结果如表3所示.

表3　模糊联盟中各局中人的特许值、上值和τ值Table 3　The concession values,the upper values and τ-values of the fuzzy cooperative game

计算结果为τ(v′)=(20,18,15,20,17).显然,满足有效性,且τ1(v′)≥v′(S′1)说明企业1通过合作生产分配得到的支付大于其单干获得的支付.类似,当i∈{2,3,4,5}时,有τi(v′)≥v′(S′i),所以分配结果也满足个体合理性.同时,对任意T⊂N,满足,所以τ值分配方案满足模糊核心条件.由于该算例描述的合作对策问题满足凸模糊联盟合作对策的条件,对λv′计算可利用定理3的公式,无需对fgv′(S′T)进行计算比较,从而简化了τ值计算.

按照以上计算过程,可以计算任意模糊联盟情况下的合作对策τ值,表4是一组不同模糊联盟情况下的合作对策τ值.

表4　不同模糊联盟情况下的τ值Table 4　The τ-values of different fuzzy coalitions

7　结束语

本文利用Choquet积分方法对清晰合作对策进行模糊拓展,在此基础上提出基于Choquet积分的模糊联盟合作对策的τ值.该τ值具有个体合理性、对称性、哑元性等性质,且是模糊联盟合作对策满足有效性、策略等价下的共变性和限制成比例性的唯一解.研究发现,基于Choquet积分的模糊联盟合作对策的τ值是经典合作对策τ值的模糊拓展,经典合作对策τ值是其特殊情况.同时,若基于Choquet积分的模糊联盟合作对策是凸的,则其τ值存在且其特许向量和τ值计算公式可以简化,从而提高了其计算效率.算例说明,利用基于Choquet积分的模糊联盟合作对策的τ值可在局中人以不同参与度参加合作时计算出一种合理的分配方案,可作为合作谈判中的重要参考信息.但该τ值的使用需要满足一定的条件,比如,利用Choquet积分方法构造模糊联盟的支付函数要求联盟局中人的资源是可拆分量化且可组合产生支付;该τ值的存在性取决于模糊联盟合作对策是否满足拟均衡模糊联盟合作对策条件等.另外,本文仅研究模糊联盟合作对策τ值的定义和求解,但现实中,局中人常以多层联盟结构形式参与合作,今后研究重点将考虑具有模糊联盟结构的合作对策解的定义和求解方法.

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τ-values of cooperative games with fuzzy coalitions and solving method

Yang Dianqing,Li Dengfeng*
(School of Economics and Management,Fuzhou University,Fuzhou 350108,China)

Considering fuzzy coalitions appearing in the practical cooperation,this paper defines the τ-value for the fuzzy cooperative game with Choquet integral,and proves its existence,uniqueness and some important properties.The relation between the τ-value and the fuzzy core is discussed.The computational formula of τ-value for the convex fuzzy cooperative game is given.Finally,the effectiveness and rationality of the τ-value is illustrated by a numerical example.The result shows that the τ-value for the fuzzy cooperative game with Choquet integral is an extension of the τ-value for crisp cooperative game.Especially,for the convex fuzzy cooperative game,the computational process of the τ-value can be simplified.

fuzzy cooperative game;Choquet integral;τ-value;game theory;fuzzy set

O225

A

1000-5781(2016)01-0013-11

10.13383/j.cnki.jse.2016.01.002

2014-03-28;

2015-02-05.

国家自然科学基金重点资助项目(71231003);国家自然科学基金资助项目(71171055);高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20113514110009);国家教育部新世纪优秀人才支持计划资助项目(NCET-10-0020);福建省社会科学规划资助项目(2012C022).

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杨靛青(1979—),男,福建漳州人,博士生,讲师,研究方向:模糊决策与对策,Email:52881164@qq.com;

李登峰(1965—),男,广西博白人,教授,博士生导师,研究方向:经济管理决策与对策、运筹管理与模糊系统分析等,Email: lidengfeng@fzu.edu.cn.