张宇亭，赵　斌，王茂香

(南京理工大学　物理实验中心，南京　210094)



弦振动实验中驻波波长的测量方法

张宇亭，赵斌，王茂香

(南京理工大学物理实验中心，南京210094)

弦驻波实验是大学物理实验之一。相比于早期的音叉，该实验采用了钢质弦线，不仅能观察到弦线上的驻波，而且还能听到弦线振动的声音，便于研究振动与声音的关系，有助于理解弦乐器的工作原理。文中基于新型弦振动实验仪器，对弦线上的驻波进行了研究，给出了驻波波长的两种测量方法，即驻波公式计算求波长和直接观察驻波求波长的方法，通过大量数据处理与分析，对两种方法进行了对比，为实验仪器的测评和改进提供一定的参考。

弦振动；驻波；弦线张力

弦振动实验一直是高等学校普通物理实验中的基础实验之一，是帮助学生理解波的形成、传播和干涉的一个重要实验[1-3]。以前采用半柔性或柔性的弦线来观察弦线上的驻波，但在实验过程中基本听不到弦线振动的声音。现在都改用钢质弦线，虽然弦线的振动不太明显，但通过示波器很容易得到弦线上每点的振幅，最重要的是弦线振动时可以听到清楚的声音。

1　实验仪器

在如图1所示的DH4618型弦振动研究实验仪中，驱动线圈与函数信号发生器相连接，接收线圈与示波器连接。弦线的张力大小和砝码质量有关，也与砝码所悬挂的位置有关。如当砝码悬挂在中央第三个沟槽时，张力大小为3倍砝码的重力。通有交流电的金属弦线在磁场中受到安培力的作用并发生振动，当满足一定的条件时可形成驻波。结合示波器可以进行驻波波形的观测与研究，而且通过相关测量可得到弦线的线密度以及横波传播的波长和波速，进而了解驻波传播的规律。

图1　实验仪器的连接

2　实验原理

实验中，我们把振源定为驱动器对应的弦线处，振动沿着弦线向两边传播，当到达劈尖后通过反射又沿弦线相向传播，稳定后即可形成驻波，示意图如图2所示。

图2　相反方向两列波传播形成驻波的示意图

式中，A为简谐波的振幅，x为质点在弦线上的坐标位置，λ为波长，f为频率。驻波是由两列波叠加后产生的，方程是：

可得波节位置：

(2)

而相邻两波节之间的距离为：

(3)

两个相邻波腹的间距为：

(4)

由式(3)和式(4)可知，测出相邻的两个波腹或者波节间的距离即可得到波长。

在本实验中，我们用劈尖的位置来确定弦的长度，在两个劈尖处为波节。所以只有当弦长L为半波长的整数倍时，才能形成驻波。其应满足的数学表达式为：

由此得横波波长为：

(5)

式中：n为弦线上波腹数，即半波数；L为弦长。

由波动理论可知，弦线上横波的传播速度为：

(6)

那么，式(6)可变型为：

T=ρv2

(7)

式中：ρ为弦线单位长度的质量，也叫线密度；T为弦线中张力。

根据波长、波速和频率之间具有普遍关系式v=fλ，将式(5)代入可算出横波波速为：

(8)

由式(6)和式(8)可得：

(9)

再由式(9)可得频率：

(10)

通过式(10)分析可以知道，要形成驻波，需频率f满足一定条件。所以，对于固定的T、ρ、L，我们要通过调节信号发生器的频率使弦线发生共振。

3　实验测量与数据处理

调节好实验装置，放上一根弦线，固定两个劈尖的位置即固定弦长，通过改变砝码的质量来改变弦线所受到的张力。分别观察弦线上的驻波波形，并在信号发生器上读出形成稳定驻波时对应的频率f。根据式(10)即可求出横波的波长。本文将给出波长测量的两种方法，并给出相应的评价，为后续研究提供参考。

1)公式计算求波长。

在大学物理实验教学过程中，弦振动实验除了帮助学生理解驻波的形成规律外，还着重培养学生的数据分析和处理能力。在课堂上，主要是观测实验现象，记录实验数据；课后要求学生对数据进行处理，根据式(10)求出波长(弦线的线密度ρ=1.03 kg/m，南京的重力加速度g=9.794 m/s2)。为减小实验误差，常规做法就是多次测量求平均来进行数据处理。

表1的测量数据量大，耗时长，在时间有限的课堂教学中难以完成。另一方面，为了培养学生的数据处理能力，一般要求读3次频率再取平均值，课后用作图法或相关软件对数据进行处理。

表2　实验数据及处理结果

当固定弦线的长度L=0.6 m，波腹数为3，实验数据及处理见表2。

图3　依据表2中的数据作图

2)直接观测求波长。

为了分析弦线两端的形变情况，我们比较了信号发射器的位置对实验结果的影响。将驱动线圈分别移到靠近和远离砝码端进行对比。当弦线上形成驻波时，移动接收端，在示波器上会看到电压幅度由小到大周期性地改变，幅度最小时弦线的位置就对应着驻波的波节，分别记录弦线上的波节位置，就可得到半波长。

当弦长L=0.6 m，波腹数为6 ，且发射端靠近砝码端时，实验数据见表3。

表3　L=0.6 m，n=6且发射端靠近砝码端时的实验数据表

当弦长L=0.6 m，波腹数为6 ，且发射端远离砝码端时，实验数据见表4。

表4　L=0.6 m，n=6且发射端远离砝码端时的实验数据表

由表3和表4可以看出，两端的半波长的确偏大，与信号发射器的位置无关，说明弦线形变确实影响横波波长的测量。而且两端的半波长比较接近，说明弦线上的张力分布基本均匀，在两端引起的形变也相近。

如果舍弃两端形变所影响的半波长，则：

4　结束语

本文通过反复多次实验，对大量数据进行对比分析发现，直接观测所得的波长比间接通过公式计算所得的数据更精确，而且免除了大量复杂的数据处理过程，同时还能更加直观地反映弦线形变对横波波长测量的影响。

[1]李相银，徐永祥，王海林，等.大学物理实验[M].2版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]苗锟，黄育红，李康，等. 弦振动形成驻波的规律和数据的Matlab处理[J].大学物理实验，2010，23(4)：75-79.

[3]贾金萍，张鹏. 弦线上的波动问题研究[J]. 内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)，2007，36(2)：153-159.

[4]王茂香，李相银. 利用Origin软件处理霍尔效应实验数据[J]. 实验科学与技术，2011，9(5)：43.

[5]黄莘，王茂香.弦振动实验数据处理与分析[J]. 大学物理实验，2013，26(6)：89-91.

Measuring Methods of Standing Wavelength in the Experiment of String Vibration

ZHANG Yuting，ZHAO Bin，WANG Maoxiang

(Center of Physical Experiment，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China)

Standing wave experiment is one of experiments of college physics. Comparing to the tuning fork in the earlier time，metallic string is applied in the new experimental instruments.The standing waves can not only be observed on the string，but also the voice of string vibration can be heard. It will be convenient to study the relationship between vibration and voice，and this will help to understand the mechanics of string instruments. In this paper，we studied the standing waves on the metallic string and gave two methods on the measurement of standing wavelength using the new experimental instrument. One was based on the formula of standing wave and the other was directly observing standing waves to get the wavelength. Through a lot of data processing and analysis，we compared these two methods and gave definite reference for determining and improving the experimental instrument.

string vibration; standing waves; string tension

2014-09-09；修改日期: 2014-12-19

张宇亭(1990-)，本科生，应用物理学专业。

王茂香(1981-)，女，博士，副教授，主要从事生物物理方面的理论与模拟研究。

O4-34;O321

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2016.01.013