胡章咏

(黄冈师范学院 机电工程学院，湖北 黄州 438000)



矩阵法求解压杆稳定的有限差分欧拉方程

胡章咏

(黄冈师范学院 机电工程学院，湖北 黄州 438000)

将压杆稳定的欧拉方程用差分的形式表达后，根据压杆稳定的实际要求，通过矩阵的方法求解该差分方程的系数矩阵，最后求出简支梁等截面直杆的压杆稳定临界应力。将求出的结果与解析解进行对比并进行误差分析，找出产生误差的原因和减小误差的措施，并指出该方法在解决变截面杆的实际意义。

压杆稳定；有限差分；欧拉方程；矩阵

承压杆件的稳定性问题一直是材料力学当中的三大问题之一(材料力学研究杆件的三大问题为：杆件的强度、刚度和稳定性)，相比较于杆件的强度和刚度问题，杆件的稳定性在计算和模拟方面有着一定的难度，特别是对于变截面杆件的稳定性问题，其临界应力的计算目前用解析法还是比较困难。

目前，解决压杆稳定问题的主要方法有：针对直杆定截面的压杆稳定问题主要用欧拉方程来求解，也有用能量法和图乘法来进行求解[1]；针对变截面杆，求解的方法有很多，主要有能量法、数值法等[2-3]。

1　问题的引入

如图1所示，细长压杆两端为球铰支座，轴线为直线，压力P与轴线重合。当压力达到临界值时，压杆将由直线平衡形态转变为曲线平衡形态。选取坐标系如图1所示，距离原点为x的任意截面的挠度为v，弯矩M的绝对值为Pv，对于微小的弯曲变形挠曲线的近似方程为：