刘　尧，李延清，陶鹏飞，胡尊平

（新疆维吾尔自治区地质调查院，新疆乌鲁木齐830000）

三维重力异常的正则化反演

刘尧*，李延清，陶鹏飞，胡尊平

（新疆维吾尔自治区地质调查院，新疆乌鲁木齐830000）

以BG理论为基础，将该理论与吉洪诺夫正则化方法相结合，应用于重力异常三维反演中，用来确定地下场源的密度分布和质心坐标。针对位场缺少深度上的分辨能力、垂向分辨率低这一问题，联合地面和航空测量的数据组成三维重力异常数据，对地下地质模型参数进行等维反演，即用三维重力异常数据反演地下三维的地质模型参数。用于反演的异常数据包含了不同高度上的重力观测数据，与传统的反演方法相比，相当于增加了数据维数，在一定程度上有效改善了垂向分辨率低这一问题。

重力异常；正则化；三维反演；线性反演

1　概述

地球物理场是由地下地质体引起，因此场的分布也就反映了地下地质体的分布特征。地球物理反演就是利用地面观测到的地球物理场的异常数据来推测地下地质体的分布，即根据观测数据求取相应的地球物理模型［1-2］。众所周知，位场数据不能很好反映地质体的垂向分布信息，反演结果深度分辨率低，这是因为实际观测数据总是有限个数据体，而地球物理模型是连续的介质模型。地球物理反演时，需要将连续的地球物理模型进行离散化，根据离散数据来求取离散模型。观测数据一般是一条剖面或一个平面上的离散数据，而相应的模型是二维或三维的连续介质模型，这样就导致我们经常采用一维的观测数据反演二维的地球物理模型，或者采用二维的观测数据反演三维的地球物理模型，最终使得反演结果的垂向分辨率低［3-5］。

针对重磁位场反演结果垂向分辨率低这一问题，介绍了一种新的位场反演方法，即“等维反演”。“等维反演”所采用的异常数据体包含了不同高度上的位场观测数据，这相当于增加了“数据维”，实现了用三维数据反演三维模型，必然能够提高反演结果垂向分辨率低的问题［4-5］。不同飞行高度上的航空重磁测量数据，联合地面观测数据即可构成等维反演的三维的异常观测数据［6-7］。

2　位场正则化线性反演理论

在许多地球物理学问题中，观察数据和模型之间存在线性泛函关系，并可以通过第一类弗雷德霍姆方程表示。根据观察数据和模型参数的个数不同，方程可能为不同的类型。当方程为欠定时，解不唯一，可以通过多种方法构制不同的模型［8-9］。根据BG理论，引入加权函数和拉格朗日乘数，构制最小长度解模型：

通过变分原理，可得该无条件极值问题的解模型。进一步分析该泛函模型，可知方程（1）是不适定方程，需要引入正则化因子来求解该不适定方程。根据吉洪诺夫正则化方法选取合适的正则算子和正则参数，通过变分原理，解得不适定方程的正则解［4-5］。

3　三维重力正则化等维反演

3.1模型构制

重力场情况下弗雷德霍姆方程的具体表达式为：

式中：（x，y，z）——整个重力场源区域v内的任意点；

Δρ（x，y，z）——模型在点（x，y，z）处的剩余密度值；

Δg（ξ，η，ζ）——整个重力场源在观测点（ξ，η，ζ）处产生的重力值；

K——万有引力常数。

我们构制最小长度解模型，即在方程（1）的约束下，求泛函的极小［7］。

在公式（3）中，ω（x，y，z）为加权函数，可根据先验信息加大或缩小某部分Δρ（x，y，z）的权重。引入拉格朗日乘数αj（j=1，2，…，N），将上述条件极值问题化为求泛函的极小值的无条件极值问题。

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公式（4）即为反演的目标函数，目标函数的极小值即为所求的模型。

3.2重力场离散模型

通常情况下，地球物理场源是连续的无规则形状模型，为了方便数值计算，我们需将连续的模型离散成一系列规则模型的组合。

本文采用右手坐标系，x轴垂直于矿体走向，y轴沿着矿体走向，z轴垂直向下。场源网由多个矩形体排列而成，源网的左上角点坐标是（x0，y0，z0）。各单元体的中心坐标是（xk，yl，zm），具有常数密度Δρ（k，l，m）；不同单元体的密度不同（图1）。

图1　三维密度场源模型

由于重力场问题是线性的，所以地面观测点（ξj，ηj，ζj）处的重力异常是所有单元块体效应之和，公式（1）可以表示为：

其中，（x，y，z）是重力场源区域内的任意点；Δg（ξj，ηj，ζj）是所有单元在观测点（ξj，ηj，ζj）处产生的重力值之和。

3.3重力核函数

在将场源离散化的过程中，单个块体的剩余密度值视为常数值，因此，对于单个块体（图2），公式（5）可以简化为：

式中的参量含义如图2所示。其中，（x，y，z）是单元块体重力场源区域内的任意点；Δg′（ξj，ηj，ζj）是图中单个场源块在观测点（ξj，ηj，ζj）处产生的重力值［2］。

图2　三维重力核函数中的参量关系

式中：G（j，k，l，m）——重力核函数。

3.4场源分布及质心的确定

根据位场线性反演理论，可以构制模型如下［8］：

其中对称正定矩阵G的元素是：

反演求解过程如下：

（1）对重力场根据（8）式计算重力核函数G（j，xk，yl，zm）；

（2）根据（11）式计算内积矩阵Γ；

（3）用正则化方法解方程（10），求得系数向量-→αj；

（4）根据（9）式计算重力场源分布；

（5）计算该重力场源分布所产生的理论重力异常，以便判断与实际观测值拟合程度；

（6）计算重力场源质心坐标：

4　结论

针对位场数据反演过程中出现的垂向分辨率低这一问题，在BG理论的基础上，结合吉洪诺夫正则化方法，给出了用于地球物理位场三维反演的重力异常正则化等维反演方法，详细介绍了方法的理论基础及主要公式推导，给出了运用此方法求解地球物理重力场的密度源分布的公式。与传统位场反演方法相比，正则化等维反演方法参与反演的数据体本身就体现了三维结构，可有效地改善重力位场反演垂向分辨率低的问题。

［1］杨文采.地球物理反演的理论与方法［M］.地质出版社，1996.

［2］刘天佑.重磁异常反演的理论与方法［M］.武汉：中国地质大学出版社，1992.

［3］张贵宾.地磁梯度测深与位场反演［M］.北京：冶金工业出版社，1997.

［4］晋风明.重力异常的正则化等维反演研究［D］.中国地质大学（北京），2008.

［5］盛君.三维重力梯度正反演研究［D］.中国地质大学（北京），2008.

［6］张永明，盛君，张贵宾.航空重力测量技术的现状及应用［J］.勘探地球物理进展，2006，29（2）：94-97.

［7］张永明，张贵宾，盛君.航空重力梯度测量技术及应用［J］.工程地球物理学报，2006，3（5）：375-380.

［8］王家映.地球物理反演理论［M］.2版.高等教育出版社，2002.

［9］王华啸.广义线性反演理论及其在磁异常解释中的应用［D］.长春地质学院，1985.

P59

A

1004-5716（2016）05-0126-03

2015-12-29

刘尧（1989-），男（汉族），陕西渭南人，现从事地球物理正反演研究及勘探工作。